Mathematik: Analysis: Grundlagen: Relationen

Relationen

Paarmengen und kartesisches Produkt (Kreuzprodukt)

Wie allgemein bekannt lässt sich die Lage eines Punktes in der Ebene durch zwei Zahlen beschreiben. Dazu benutzt man ein rechtwinkliges (kartesisches) Koordinatensystem mit einer $x$-Achse und $y$-Achse, die senkrecht aufeinander stehen. Bezeichnet man beispielsweise mit $x_1$ den Abstand eines Punktes $P_1$ von der $y$-Achse (dieser ist negativ, wenn $P_1$ links der $y$-Achse liegt) und mit $y_1$ man den Abstand eines Punktes $P_1$ von der $x$-Achse (dieser ist negativ, wenn $P_1$ unterhalb der $x$-Achse liegt), so wird durch das Zahlenpaar $(x_1,y_1)$ die Lage des Punktes im Koordinatensystem beschrieben. Bei dem Zahlenpaar $(x_1,y_1)$ ist die Reihenfolge wesentlich. So beschreiben beispielsweise die Zahlenpaare $(1,2)$ und $(2,1)$ unterschiedliche Punkte im Koordinatensystem, es gilt also $(1,2)\ne (2,1)$.

Diese Paarbildung wird mit den folgenden Definitionen auf allgemeine Mengen erweitert:

Definition

Seien $M$ und $N$ Mengen und sei $x\in M$ und $y\in N$

1. geordnetes Paar:
   $(x,y)$ heißt geordnetes Paar.
2. Gleichheit von geordneten Paaren
   Zwei geordnete Paare "$(x_1,y_1)$ und $(x_2,y_2)$ sind gleich" ⇔ "$x_1=x_2$ und $y_1=y_2$"
3. Paarmenge
   Die Paarmenge (kartesisches Produkt, Kreuzprodukt) von $M$ und $N$ wird wie folgt definiert:
   $M\times N:=\{(x,y)|x\in M$ und $y\in N\}$

Normalerweise spricht man nur von Paaren (statt von geordneten Paaren), die Reihenfolge der Elemente ist aber wesentlich.

Die Menge $M\times N$ nennt man auch Rechteckmenge. Man kann die Elemente von $M\times N$ in Form von Rechtecken im kartesischen Koordinatensystem aufschreiben. Hierzu folgendes Beispiel: $M:=\{1,2,3,4\}$ und $N:=\{1,2,3\}$. Die dazugehörige Rechteckmenge lautet dann: $M\times N=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),$                       $(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3)\}$ Die Abbildung rechts veranschaulicht diese Rechteckmenge.

Datei:Rechteckmenge.png

Rechteckmenge $M\times N$

 
In vielen mathematischen Sachverhalten stehen Objekte in bestimmten Zusammenhängen z. B. "$10$ ist größer als $5$". Der Zusammenhang "$10$ ist größer als $5$" kann auch in der ungewöhnlichen Weise "$(10,5)$ steht in der Relation größer" dargestellt werden. Das Beispiel zeigt aber, wie der Begriff der Relation auf den Mengenbegriff zurückgeführt werden kann.

Relation

Definition

$M$ und $N$ seien Mengen.
$R$ heißt eine Relation zwischen $M$ und $N$  ⇔  $R\subset M\times N$.
Ist $M=N$ so ist $R$ eine Relation auf $M$.

Gilt $(x,y)\in R$ dann "erfüllen $x$ und $y$ die Relation $R$" oder "stehen in der Relation $R$". Oft wird hierfür auch "$xRy$" geschrieben.

Stellt man sich zwei Mengen $M$ und $N$ als Punktmengen in einer Ebene vor, kann man die Relation $R\subset M\times N$ durch Verbindungslinien zwischen den in Relation stehenden Punktepaaren kennzeichnen. Ein Pfeil von einem $m\in M$ zu einem $n\in N$ bedeutet $(m,n)\in R$.	Datei:Relation Mengenwolke.png
	Relation zwischen $M$ und $N$

Beispiel: Sei $M$ eine beliebige Menge. Durch ${\mathrm{\Delta }}_M:=\{(x,x)|x\in M\}$ ist eine Relation auf $M$ definiert: die Gleichheitsrelation. Diese lässt sich anschaulich als Diagonale darstellen.	Datei:Diagonale.png
	Gleichheitsrelation

Beispiel:
$G:=\{(x,y)\mid x\in \mathbb{N}$ und $y\in \mathbb{N}$ und $x$ ist groesser als $y\}$
ist eine Relation zwischen $\mathbb{N}$ und $\mathbb{N}$ und definiert die oben erwähnte "Größer-Relation".

Äquivalenzrelation

Viele Probleme lassen sich vereinfachen, indem man Objekte, die gewissen gemeinsamen Kriterien genügen, als äquivalent betrachtet, obwohl sie sich hinsichtlich anderen Kriterien unterscheiden können. Hierzu benutzt man in der Mathematik die Äquivalenzrelation.

Definition

Seien $M$ eine Menge und $\sim$ eine Relation auf $M$.

Äquivalenzrelation:
$\sim$ ist eine Äquivalenzrelation auf $M$, wenn für alle $x,y,z\in M$ gilt:

1. Reflexivität:     $x\sim x$
2. Symmetrie:     $x\sim y$   ⇒   $y\sim x$
3. Transitivität:     $x\sim y$ und $y\sim z$   ⇒   $x\sim z$

Äquivalenzklasse
Sei $R$ eine Äquivalenzrelation auf $M$. Die Menge der zu $x\in M$ äquivalenten Elemente von $M$

$[x]:=\{y\in M\mid x\sim y\}$

nennt man die Äquivalenzklasse oder Faser von $x$ bezüglich $\sim$. Das Element $x$ heißt Repräsentant von $[x]$.

Beispiel:
Die oben erwähnte Gleichheitsrelation ${\mathrm{\Delta }}_M:=\{(x,x)\mid x\in M\}$ ist die "klassische" Äquivalenzrelation. Reflexivität, Symmetrie und Transitivität sind die bekannten Eigenschaften der Gleichheit. Außerdem gilt für alle $x,y\in M$: $(x,y)\in {\mathrm{\Delta }}_M\iff x=y$. Die Äquivalenzklassen von $M$ bezüglich ${\mathrm{\Delta }}_M$ sind also Mengen mit genau einem Element, d.h. $[x]=\{x\}$.
In diesem Zusammenhang der Hinweis, dass eine Menge eine "Zusammenfassung wohl unterschiedener Objekte" ist.

Beispiel und Übung:
Etwas spannender ist schon die Entscheidung, ob es sich bei der Relation

$R:=\{(x,y)\mid x,y\in \mathbb{N}$ und $(x=y$ oder $x\cdot y=12\}$ um eine Äquivalenzrelation handelt. Es ist also zu prüfen, ob $R$ auf der Menge $\mathbb{N}$ reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

Satz

Sei $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $M$, dann gilt

$[x]\cap [y]=\mathrm{\varnothing }\iff [x]=[y]$

Beweis

Sei $z\in [x]\cap [y]$. Dann ist $x\sim z$ und $y\sim z$, und wegen der Transitivität und der Symetrie gilt daher $x\sim y$. Für jedes $a\in [x]$ gilt daher $a\sim x\sim y$ und wegen der Transitivität auch $a\sim y$. Daraus folgt $[x]\subseteq [y]$. Ganz analog zeigt man $[y]\subseteq [x]$. Damit gilt $[x]=[y]$.

Dass $[x]=[y]\Rightarrow [x]\cap [y]=\mathrm{\varnothing }$ gilt ist klar.

Bemerkung: Dieser Satz besagt, dass Äquivalenzklassen disjunkt oder gleich sein müssen. D.h. eine Äquivalenzrelation auf der Menge $M$, bildet eine disjunkte Partition der Menge $M$.

Ordnungsrelationen

Mengen kann man über die Teilmengenbeziehung "$\subset$" der Größe nach ordnen. Solche Ordnungen werden durch Eigenschaften wie Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität charakterisiert. Dies führt zu der sehr allgemeinen Definition der Ordnungsrelation.

Ordnungsrelation

Definition

Seien $M$ eine Menge und $R$ eine Relation auf $M$.

Ordnungsrelation:
$R$ ist eine Ordnungsrelation auf $M$, wenn für alle $x,y,z\in M$ gilt:

1. Reflexivität:         $(x,x)\in R$
2. Antisymmetrie:     $(x,y)\in R$ und $(y,x)\in R\Rightarrow x=y$
3. Transitivität:         $(x,y)\in R$ und $(y,z)\in R\Rightarrow (x,z)\in R$
   

Ist $R$ eine Ordnungsrelation auf $M$, so heißt das Paar $(M,R)$ eine geordnete Menge und $R$ eine Ordnung auf $M$. Die Namensgebung ist hier leider nicht sehr einheitlich. Man sagt statt Ordnung auch Halbordnung, Partialordnung oder teilweise Ordnung.

Statt $(x,y)\in R$ schreibt man oft $xRy$, und auch, wie sicherlich vertraut, $x\le y$ (sprich $x$ kleiner oder gleich $y$).

$(M,R)$ ist linear (total) geordnet, wenn für alle $x,y\in M$ gilt: $(x,y)\in R$ oder $(y,x)\in R$.

Kette

Definition

Eine nichtleere Teilmenge $K\subset M$ einer geordneten Menge $(M,\le )$ heißt Kette von $(M,\le )$, falls $(K\le \cap K\times K)$ eine total Ordnung ist.

Die vertraute Schreibweise "$\le$" könnte zu dem Fehlschluss verleiten, dass die Definition nur "gut bekannte" geordnete Mengen, wie z. B. die natürlichen Zahlen beschreibt. Das ist nicht der Fall, der Begriff ist viel allgemeiner. Das sollen die folgenden Beispiele verdeutlichen:

Beispiel:
Die oben erwähnte Gleichheitsrelation ${\mathrm{\Delta }}_M:=\{(x,y)\mid x\in M\}$ ist eine Ordnungsrelation auf $M$. Wie schon gesagt ist ${\mathrm{\Delta }}_M$ eine Äquivalenzrelation, also ist sie reflexiv und transitiv. Falls $(x,y)\in {\mathrm{\Delta }}_M$ und $(x,y)\in {\mathrm{\Delta }}_M$ folgt aus der Definition der Gleicheitsrelation $x=y$, d. h. auch die Antisymmetrie ist erfüllt.

Beispiel und Übung:
Potenzmenge: Sei $M$ eine Menge und $𝔓(M)$ die Potenzmenge von $M$. Durch $U\le V:=U\subset V\subset M$ wird eine Ordnungsrelation auf $𝔓(M)$ definiert. Beweisen lässt sich dies mit den Rechenregeln der Teilmengenbeziehung.

Zum Schluss dieses Abschnitts noch eine Übungsaufgabe, bei der vielleicht erst mit dem "zweiten Blick" klar wird, was hier eigentlich definiert wird:

Übungsaufgabe:
Zeige: Sei $M$ eine Menge und $\le$ eine Ordnung auf $M$. Für jede Teilmenge $N\subset M$ wird durch ${\le }_N:=\le \cap (N\times N)$ eine Ordnung auf $N$ definiert. $\le$ läßt sich also auf Teilmengen $N$ einschränken.

Hinweise:
Es wird vorausgesetzt, dass $M$ eine Menge und $(M,\le )$ eine geordnete Menge ist. Sei nun $N$ eine Teilmenge von $M$. $(N\times N)$ ist dann eine Relation auf $N$, bei der alle Elemente von $N$ miteinander in Beziehung stehen, d. h. für alle $x,y\in N$ gilt $(x,y)\in (N\times N)$. "$\le$" steht als Symbol für die vorausgesetzte Ordnungsrelation, d. h. "$\le$" symbolisiert eine Relation oder Teilmenge von $(M\times M)$, also insbesondere ist "$\le$" eine Paarmenge. Aus den beiden Paarmengen $\le$ und $(N\times N)$ wird dann der Durchschnitt "$\le \cap (N\times M)$" gebildet. Dieser Durchschnitt ist wieder eine Paarmenge. Und genau für diese Paarmenge soll gezeigt werden, dass sie eine Ordnungsrelation, d. h. reflexiv, antisymmetrisch und transitiv, ist.

Im Folgenden werden ausgezeichnete Elemente geordneter Mengen bezüglich gegebener Teilmengen beschrieben. Diese Begriffe werden in der Analysis und auch vielen anderen Gebieten der Mathematik häufig verwendet.

Maximum - Minimum

Definition

$(M,\le )$ sei eine geordnete Menge und $N$ eine Teilmenge von $M$:

1. "$x$ heißt Maximum oder größtes Element von $N$" : $\iff$ "$x\in N$ und $\mathrm{\forall }y\in N$ gilt $y\le x$"
2. "$x$ heißt Minimum oder kleinstes Element von $N$" : $\iff$ "$x\in N$ und $\mathrm{\forall }y\in N$ gilt $x\le y$".

Satz

Eine Teilmenge einer geordneten Menge besitzt höchstens ein Maximum (Minimum).

Beweis

Seien also $a$ und $b$ Maxima von $N$. Dann gilt $a,b\in N$ und $a\le b$ ($b$ ist Maximum) sowie $b\le a$ ($a$ ist Maximum). Daraus folgt wegen der Antisymmetrie der Ordnungsrelation sofort $a=b$.

Eine geordnete Menge muss kein Maximum oder Minimum besitzen, z.B. die Menge $\{x\mid 0<x<1\}$, besitzt weder ein Maximum noch ein Minimum, obwohl sie geordnet ist.

Da Maximum und Minimum einer Teilmenge $N$ eindeutig bestimmt sind (vorausgesetzt sie existieren!) definiert man weiter:

Definition

Sei $N$ eine Teilmenge einer geordneten Menge $(M,\le )$ und $x$ sei ein Maximum von $N$, so setzt man: $maxN:=x(minN:=x)$

Obere Schranke - untere Schranke

Im Allgemeinen existieren zu einer Teilmenge $N$ einer geordneten Menge $(M,\le )$ weder Minimum noch Maximum. Für solche Teilmengen $N$ ist die obige Definition nicht anwendbar. Mit der folgenden Definition erweitert man die Menge der "möglichen Elemente" indem man auch Elemente der Menge $M$ zuläßt.

Definition

$(M,\le )$ sei eine geordnete Menge und $N$ eine Teilmenge von $M$

1. "$x$ heißt obere Schranke von $N(inM)$"  : $\iff$ "$x\in M$ und $\mathrm{\forall }y\in N$ gilt $y\le x$"
2. "$x$ heißt untere Schranke von $N(inM)$" : $\iff$ "$x\in M$ und $\mathrm{\forall }y\in N$ gilt $x\le y$"
3. Sei $\bar{S}(N):=\{x\mid x$ ist obere Schranke von $N(inM)\}$.
   "$N$ heißt nach oben beschränkt" : $\iff$ "$\bar{S}(N)\ne \mathrm{\varnothing }$ , d. h. $N$ hat (mindestens) eine obere Schranke"
4. Sei $\underset{\_}{S}(N):=\{x\mid x$ ist untere Schranke von $N(inM)\}$.
   "$N$ heißt nach unten beschränkt " : $\iff$ "$\underset{\_}{S}(N)\ne \mathrm{\varnothing }$ , d. h. "$N$ hat (mindestens) eine untere Schranke"
5. "$N$ heißt beschränkt " : $\iff$ "$N$ ist nach oben und unten beschränkt"

Supremum - Infimum

Falls ein minimales Element der Menge $\bar{S}(N):=\{x\mid x$ ist obere Schranke von $N(inM)\}$ existiert, so ist es nach dem oben bewiesenen Satz eindeutig und dieses Element nennt man dann Supremum von $N$. Die Existenz eines solchen Elementes ist jedoch keinesfalls gesichert und im "Einzelfall" nachzuweisen. Erst nachdem dieser Nachweis geglückt ist, dürfen also die folgende Definitionen benutzt werden:

Definition

$(M,\le )$ sei eine geordnete Menge und $N$ eine Teilmenge von $M$

"$x$ heißt Supremum oder kleinste obere Schranke oder sup $N$ von $N(inM)$" : $\iff$ "$x:=min\bar{S}(N)$" .

"$x$ heißt Infimum oder größte untere Schranke oder inf $N$ von $N(inM)$" : $\iff$ "$x:=max\underset{\_}{S}(N)$"

Satz

$(M,\le )$ sei eine geordnete Menge, $N$ eine Teilmenge von $M$ und $x\in M$. Dann gilt:

1. $x=maxN\iff x\in \bar{S}(N)$ und $x\in N$ $\iff$ $x=supN$ und $x\in N$
2. $x=minN\iff x\in \underset{\_}{S}(N)$ und $x\in N\iff x=infN$ und $x\in N$

$SupN$ muss im Gegensatz zum $maxN$ nicht zur Teilmenge $N$ gehören. Ein Beispiel hierfür ist die Menge $N:=\{x\mid x\in ℝ,1<x<2\}$ ($ℝ$ steht für die Menge der reellen Zahlen). Später werden wir solche Beispiele genauer untersuchen.

Wohlordnung

Zum Schluss dieses Abschnitts wird noch der Begriff der Wohlordnung eingeführt. Ein Beispiel für eine wohlgeordnete Menge sind die natürlichen Zahlen mit der "natürlichen" Ordnung. Dagegen sind die "normalen" Ordnungen der ganzen oder positiven reellen Zahlen nicht wohlgeordnet.

Definition

Eine Ordnung $\le$ auf einer Menge $M$ heißt Wohlordnung : $\iff \mathrm{\forall }L\subset M$ mit $L\ne \mathrm{\varnothing }$ existiert $minL$.

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