Mathe für Nicht-Freaks: Faktorraum, Quotientenraum

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}} In diesem Artikel betrachten wir den Faktorraum $V/U$ eines $K$-Vektorraums $V$ bezüglich eines Untervektorraums $U$. Der Faktorraum $V/U$ ist ein Vektorraum, in dem wir wie in $V$ bis auf Abweichungen in $U$ rechnen können.

Der Faktorraum $V/U$ wird auch häufig Quotientenraum genannt.

Einführung

Rechnen mit Lösungen eines linearen Gleichungssystems

Wir betrachten die Matrix Vorlage:Einrücken Wir wollen nun versuchen, für verschiedene Vektoren $b\in {ℝ}^2$ das lineare Gleichungssystem $Ax=b$ zu lösen. Für $b_1=(3,-7{)}^T$ erhalten wir beispielsweise $x_1=(1,2,-4{)}^T$ als eine Lösung und für $b_2=(1,2{)}^T$ beispielsweise $x_2=(2,0,3{)}^T$ als eine Lösung. Das heißt, es gilt $A{x}_1=b_1$ und $A{x}_2=b_2$. Wir suchen nun eine Lösung für $Ax=b_1+b_2$. Dafür müssen wir das Gleichungssystem nicht erneut lösen, sondern können unsere bisherigen Lösungen verwenden, indem wir sie addieren. Dann haben wir $A(x_1+x_2)=A{x}_1+A{x}_2=b_1+b_2$, also ist $x_1+x_2=(3,2,-1{)}^T$ ist eine Lösung von $Ax=b_1+b_2$.

Lösungen für das obige Gleichungssystem sind nicht eindeutig: Das Gleichungssystem $Ax=b_1$ wird auch von ${x_1}^{\prime }=(2,1,-4{)}^T$ gelöst und $Ax=b_2$ auch von ${x_2}^{\prime }=(-1,3,3{)}^T$. Die Lösungen $x_1$ und ${x_1}^{\prime }$ sowie $x_2$ und ${x_2}^{\prime }$ unterscheiden sich voneinander: Es gilt $x_1={x_1}^{\prime }+(-1,1,0{)}^T$ und $x_2={x_2}^{\prime }+(3,-3,0{)}^T$. Die Unterschiede $(-1,1,0{)}^T$ und $(3,-3,0{)}^T$ sind beide Lösungen des (homogenen) Gleichungssystems $Ax=0$. Das heißt, sie liegen im Kern von $A$. Das gilt auch im Allgemeinen: Sind $x$ und $x^{\prime }$ zwei verschiedene Lösungen von $Ax=b$, so unterscheiden sie sich nur um ein Element im Kern von $A$, denn $A(x-x^{\prime })=Ax-A{x}^{\prime }=b-b=0$. Den Kern von $A$ bezeichnen wir im Folgenden mit $U$. Wir können diese allgemeine Regel auf die beiden Lösungen $x_1+x_2$ und ${x_1}^{\prime }+{x_2}^{\prime }$ von $Ax=b_1+b_2$ anwenden. Damit sehen wir, dass die Differenz $(x_1+x_2)-({x_1}^{\prime }+{x_2}^{\prime })$ in $U$ liegt.

Bei Skalaren $\lambda \in ℝ$ können wir genauso vorgehen: Wir haben eine Lösung $x_1$ von $Ax=b_1$ und wollen $Ax=\lambda b_1$ lösen, ohne neu zu rechnen. Wieder können wir eine Lösung erhalten, indem wir unsere bereits bestimmte Lösung $x_1$ benutzen. Es gilt $A(\lambda x_1)=\lambda (A{x}_1)=\lambda b_1$, also ist $\lambda x_1$ eine Lösung. Für die zweite Lösung ${x_1}^{\prime }$ funktioniert das auch: $x=\lambda {x_1}^{\prime }$ ist eine Lösung von $Ax=\lambda b$. Wieder ist der Unterschied zwischen $\lambda x_1$ und $\lambda {x_1}^{\prime }$ in $U$. Wir können also mit Lösungen von linearen Gleichungssystemen rechnen, um neue Lösungen zu finden. Dabei sind uns Unterschiede in $\ker (A)=U$ bei den Rechenergebnissen egal. Man sagt auch, die Vektoren sind modulo $U$ gleich, wenn sie sich nur um etwas in $U$ unterscheiden. Zum Beispiel sind die Lösungen $x_1+x_2$ und ${x_1}^{\prime }+{x_2}^{\prime }$ des Gleichungssystems $Ax=b_1+b_2$ modulo $U$ gleich. Beim Rechnen mit Lösungen von linearen Gleichungssystemen rechnen wir also modulo $U$.

Neben dem Fachbegriff ist „modulo“ ein schönes Synonym von „bis auf“ oder „bis auf etwas in“. Also sind zwei Vektoren $v$ und $v^{\prime }$ modulo $U$ gleich, wenn sie bis auf etwas in $U$ gleich sind, d.h. wenn es ein $u\in U$ gibt, so dass $v=v^{\prime }+u$. Das ist äquivalent dazu, dass die Differenz $v-v^{\prime }$ in $U$ liegt: Gilt $v-v^{\prime }\in U$, dann ist $v=v^{\prime }+u$ mit $u=v-v^{\prime }\in U$. Umgekehrt ist $v-v^{\prime }=u\in U$, wenn $v=v^{\prime }+u$ für ein $u\in U$.

Konstruktion des Faktorraums

In dem Beispiel haben wir in einem Vektorraum $V$ gerechnet, die Ergebnisse aber nur bis auf Unterschiede in einem Unterraum $U$ betrachtet. Wir haben Vektoren $v$ und $v^{\prime }$ in $V$ mit $v-v^{\prime }\in U$ als gleich angesehen. Um das Rechnen bis auf etwas in $U$ zu formalisieren, identifizieren wir Vektoren, welche gleich modulo $U$ sind. Dafür konstruieren wir eine Äquivalenzrelation $\sim$ und bilden $V/\sim$. Wir definieren Vorlage:Einrücken Diese Relation haben wir schon einmal gesehen, es ist die Relation mit der wir die Menge der Nebenklassen eines Unterraums definiert haben. Dort haben wir gesehen, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist. Die Menge der Äquivalenzklassen haben wir mit $V/U$ bezeichnet.

Nun wollen wir mit diesen Vektoren modulo $U$ rechnen, das heißt, wir wollen eine Vektorraumstruktur auf $V/U$ definieren. Dafür definieren wir die Addition $⊞$ und skalare Multiplikation $⊡$ auf $V/U$. Für $v+U,w+U\in V/U$ und $\lambda \in K$ definieren wir Vorlage:Einrücken Die Vektorraumoperationen haben wir hierbei auf Repräsentanten definiert. Das heißt, wir haben uns aus den involvierten Nebenklassen jeweils ein Element gesucht und mit Hilfe von diesen $⊞$ und $⊡$ definiert. Im Allgemeinen haben Nebenklassen jedoch verschiedene Repräsentanten. Es ist aber noch nicht klar, ob die Definitionen von $⊞$ und $⊡$ von der Wahl der Repräsentanten unabhängig sind. Andernfalls wäre die Definition nicht sinnvoll: Zum Beispiel könnte dann $v,w,v^{\prime },w^{\prime }\in V$ mit $v+U=v^{\prime }+U$ und $w+U=w^{\prime }+U$ sein, aber $(v+w)+U\ne (v^{\prime }+w^{\prime })+U$.

Das heißt, wir müssen zeigen, dass diese Definition unabhängig von der Wahl des Repräsentanten ist. Diesen Beweis führen wir weiter unten. Die Eigenschaft, dass die Definition nicht von der Wahl des Repräsentanten abhängt, nennt man Wohldefiniertheit, weil wir zeigen müssen, dass die Definition, die wir hingeschrieben haben, auch ein eindeutiges mathematisches Objekt liefert. Das tun wir weiter unten.

Wir müssen auch noch zeigen, dass $V/U$ mit dieser Addition und skalaren Multiplikation ein Vektorraum ist. Auch das werden wir weiter unten sehen.

Definition

Im vorherigen Abschnitt haben wir uns überlegt, wie ein Vektorraum $V/U$ aussehen kann, dessen Vektorraumstruktur dem Rechnen modulo $U$ entspricht. Die Elemente von $V/U$ sind die Nebenklassen $v+U$. Die Vektorraumstruktur wollen wir über die Repräsentanten definieren. Achtung: Wir müssen noch die Wohldefiniertheit beweisen, d.h. dass das Ergebnis der Addition bzw. skalaren Multiplikation nicht von der Wahl der Repräsentanten abhängt. Das machen wir in diesem Abschnitt.

Um die Addition und Skalarmultiplikation auf $V/U$ von der auf $V$ zu unterscheiden, bezeichnen wir die Operationen auf $V/U$ in diesem Artikel mit „$⊞$“ und „$⊡$“. Andere Artikel und Quellen verwenden meist „$+$“ und „$\cdot$“ für die Vektorraumoperationen.

Erklärung zur Definition

Wir haben die Addition und Skalarmultiplikation auf dem Faktorraum $V/U$ definiert. Aber was genau bedeuten die Formeln $(v+U)⊞(w+U):=(v+w)+U$ und $\lambda ⊡(v+U):=(\lambda \cdot v)+U$? Um die Addition $⊞$ in $V/U$ zu definieren, brauchen wir zwei Vektoren aus $V/U$. Vektoren in $V/U$ sind Nebenklassen, haben also die Form $v+U$ und $w+U$ mit $v,w\in V$. Die Addition dieser Vektoren $(v+U)⊞(w+U)$ können wir berechnen, indem wir erst $v$ und $w$ in $V$ zu $v+w$ addieren und anschließend die zugehörige Nebenklasse $(v+w)+U$ bilden: Vorlage:Einrücken Die skalare Multiplikation funktioniert ähnlich: Für ein Skalar $\lambda \in K$ und eine Nebenklasse $v+U$ mit $v\in V$ wollen wir $\lambda ⊡(v+U)$ definieren. Dafür berechnen wir erst das Skalarprodukt $\lambda \cdot v$ in $V$ und bilden danach die Nebenklasse dieses Vektors $(\lambda \cdot v)+U$: Vorlage:Einrücken Wir berechnen also erst die Addition bzw. skalare Multiplikation der Repräsentanten in $V$ und bilden anschließend die Nebenklasse. Man sagt: Die Vektorraumstruktur auf $V/U$ ist die von $V$ „induzierte“ Vektorraumstruktur.

Wohldefiniertheit der Operationen im Faktorraum Vorlage:Anker

Wir wollen prüfen, ob die Operationen von $⊞$ und $⊡$ von der Wahl von Repräsentanten unabhängig – also wohldefiniert – sind. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Beweis der Vektorraumaxiome

Wir zeigen, dass der Quotientenraum wieder ein $K$-Vektorraum ist, indem wir die Axiome für $V/U$ auf die für $V$ geltenden zurückführen. Die Quotientenbildung ist daher genau wie Unterraumbildung ein Weg, aus einem vorhandenen $K$-Vektorraum neue Vektorräume zu induzieren.

Beispiele

Beispiel im endlichen Vektorraum

Oben haben wir uns ein anschauliches Beispiel angeschaut. Im zweiten Beispiel verlassen wir die Anschauung und schauen uns ein abstrakteres Zahlenbeispiel an.

Zusammenhang Faktorraum und Komplement

Im Faktorraum $V/U$ rechnen wir mit Vektoren in $V$ bis auf Abweichungen in $U$. Anteile in $U$ werden also „ignoriert“. Wir kennen eine andere Konstruktion, die man ähnlich interpretieren kann: Das Komplement. Ein Komplement eines Unterraums $U\subseteq V$ ist ein Unterraum $W\subseteq V$, sodass $U\oplus W=V$ gilt. Hierbei bezeichnet $U\oplus W$ die innere direkte Summe von $U$ und $W$ in $V$, d.h. $U\oplus W=U+W$ und $U\cap W=\{0\}$. Ein Vektor $v\in V$ lässt sich dann eindeutig schreiben als $v=u+w$, wobei $u\in U$ und $w\in W$. Das Komplement selbst muss aber nicht eindeutig sein! Es kann verschiedene Unterräume $W,W^{\prime }\subseteq V$ geben, mit $U\oplus W=V=U\oplus W^{\prime }$.

Beim Faktorraum "vergessen" wir den Anteil von $v$, der in $U$ liegt, indem wir $v$ auf die Nebenklasse $v+U$ abbilden: Vorlage:Einrücken Ist $W$ ein Komplement von $U$ und $v=u+w$ für eindeutige $u\in U$ und $w\in W$, dann können wir analog den $U$-Teil vergessen, indem wir $v$ auf den $W$-Teil $w$ abbilden: Vorlage:Einrücken Anscheinend ähneln sich $V/U$ und ein Komplement $W$. Können wir die beiden Vektorräume $V/U$ und $W$ identifizieren, d.h. sind sie isomorph? Ja, sind sie, was wir in folgendem Satz beweisen.

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz Wir haben gesehen, dass $V/U$ isomorph zu jedem beliebigen Komplement von $U$ ist. Also sollte es sich auch wie ein Komplement verhalten, d.h. es sollte gelten $U\oplus V/U=V$. Doch Achtung: Weil $V/U$ kein Untervektorraum von $V$ ist, können wir nicht die innere direkte Summe mit $U$ bilden. Wir können aber stattdessen die äußere direkte Summe von $U$ und $V/U$ betrachten: Vorlage:Einrücken Dies kann zwar nicht gleich $V$ sein, aber isomorph zu $V$. Das werden wir nun zeigen. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Aufgaben

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