Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum: Innere direkte Summe

Herleitung und Definition

Wir haben schon die Summe von zwei Untervektorräumen kennengelernt. Seien $U$ und $W$ zwei Untervektorräume, dann bildet die Summe von $U$ und $W$ wieder einen Untervektorraum $Z=U+W$. Also finden wir für jeden Vektor $v\in Z$ zwei Vektoren $u\in U$ und $w\in W$, sodass $v=u+w$ gilt. Nun stellt sich die Frage: Gibt es mehrere Möglichkeiten, $v$ als solche Kombination zu schreiben?

Die Antwort ist ja, es kann mehrere Möglichkeiten geben. Als Beispiel schauen wir uns den Vektorraum ${ℝ}^3$ an. Dieser Raum kann als die Summe der $xy$-Ebene und der $yz$-Ebene betrachtet werden. Das heißt, sei $v\in {ℝ}^3$, dann gibt es tatsächlich mehrere Möglichkeiten, um $v$ als Summe von Vektoren aus der $xy$-Ebene und der $yz$-Ebene darzustellen. Für den Vektor $(2,3,5)$ haben wir z.B. $(2,3,5)=(2,2,0)+(0,1,5)=(2,1,0)+(0,2,5)$.

Solche Darstellungen sind also im Allgemeinen nicht eindeutig. Wir wollen nun ein Kriterium für die Eindeutigkeit finden.

Angenommen wir haben zwei verschiedene Darstellungen von $v$, d.h. $v=u+w$ und $v=u^{\prime }+w^{\prime }$ mit $u\ne u^{\prime }$ und $w\ne w^{\prime }$ (wenn eins davon gleich ist, dann auch das andere). Insbesondere wissen wir $u-u^{\prime }\ne 0$ und $w-w^{\prime }\ne 0$. Stellen wir nun die Gleichung $u+w=v=u^{\prime }+w^{\prime }$ um, erhalten wir $\underset{\in U}{\underbrace{u-u^{\prime }}}=\underset{\in W}{\underbrace{w^{\prime }-w}}$. Weil die linke Seite in $U$ und die rechte Seite in $W$ liegt, ist das ein Element in $U\cap W$, das gleichzeitig kein Nullvektor ist. Also ist $U\cap W$ nicht nur $\{0\}$. (Der Nullvektor liegt im Schnitt, weil $U$ und $W$ beide Untervektorräume sind.) Das heißt, wenn die Darstellung nicht eindeutig ist, dann enthält der Schnitt $U\cap W$ nicht nur den Nullvektor.

Umgekehrt gilt: Wenn der Schnitt nicht $\{0\}$ ist, haben wir keine eindeutige Darstellung. Sei also $v\in U\cap W$ mit $v\ne 0$. Dann gibt es zwei Darstellungen von $v$, nämlich $v=v+0=0+v$ (einerseits $v=u+w$ mit $u=v$ und $w=0$ und andererseits $v=u^{\prime }+w^{\prime }$ mit $u^{\prime }=0$ und $w^{\prime }=v$). Wegen $v\ne 0$ sind diese Darstellungen voneinander verschieden.

Also können wir eine Äquivalenz schließen: Der Schnitt $U\cap W$ ist genau dann $\{0\}$, wenn die Darstellung aller Vektoren in $V$ eindeutig ist.

In diesem Fall geben wir der Summe einen speziellen Namen: Wir nennen die Summe von $U$ und $W$, im Fall $U\cap W=\{0\}$, die direkte Summe von $U$ und $W$ und schreiben $U\oplus W=U+W$. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition

Beispiele

Summe von zwei Geraden im ℝ² Vorlage:Anker

Die Geraden $U$ und $W$

Wir betrachten die folgenden beiden Geraden im ${ℝ}^2$: Vorlage:Einrücken Also ist $U$ die $x$-Achse und $W$ die Gerade, die durch den Ursprung und den Punkt $(1,1)$ verläuft. Die Summe ist $U+W={ℝ}^2$

Wir wollen nun untersuchen, ob diese Summe direkt ist. Dafür müssen wir $U\cap W$ bestimmen. Ist $v=(x,y{)}^T\in U\cap W$, so wissen wir folgendes: Weil $v\in U$ ist, ist $y=0$. Und weil $v\in W$ ist, gilt $x=y$. Somit gilt $x=y=0$ und wir haben $v=0$. Weil $U\cap W$ umgekehrt auch $0$ enthält, erhalten wir $U\cap W=\{0\}$. Damit ist die Summe aus $U$ und $W$ direkt und wir können $U\oplus W$ schreiben.

Summe von zwei Geraden im ℝ³

Die Geraden $U$ und $W$

Wir haben folgende Geraden im ${ℝ}^3$: Vorlage:Einrücken Dann ist $U$ eine Gerade im ${ℝ}^3$, die durch den Ursprung und den Punkt $(1,1,2)$ verläuft, und $W$ ist eine Gerade, die durch den Ursprung und $(3,0,5)$ verläuft. Die Summe $U+W$ ist eine Ebene, die von den Vektoren $(1,1,2{)}^T$ und $(3,0,5{)}^T$ aufgespannt wird, also Vorlage:Einrücken

Auch hier wollen wir bestimmen, ob die Summe direkt ist. Dafür betrachten wir einen Vektor $v=(x,y,z{)}^T\in U\cap W$. Dann gilt, weil $v\in U$ ist, dass $x=y=2z$ gilt; und weil $v\in W$ ist, dass $y=0$ gilt. Somit gilt $x=z=y=0$ und die Summe ist direkt. Das heißt, wir dürfen $U\oplus W$ schreiben.

Summe einer Gerade und einer Ebene im ℝ³

Die Gerade $U_3$ und die Ebene $W$

Wir betrachten die Untervektorräume $U_3$ und $W$ vom ${ℝ}^3$. Vorlage:Einrücken Der Untervektorraum $U_3$ ist die Gerade durch den Ursprung und den Punkt $(1,1,1)$, während $W$ die y-z-Ebene darstellt. Gemeinsam spannen $U_3$ und $W$ den gesamten ${ℝ}^3$ auf, d.h. $U_3+W={ℝ}^3$. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage

Nun stellt sich die Frage, ob die Summe $U_3+W$ eine direkte Summe ist. Um dies zu prüfen, müssen wir den Schnitt $U_3\cap W$ analysieren. Wenn $U_3\cap W$ nur den Nullvektor $(0,0,0{)}^T$ enthält, ist die Summe direkt.

Sei $(a,b,c{)}^T$ ein Vektor in $U_3\cap W$. Da $(a,b,c{)}^T\in U_3$, muss gelten $a=b=c$. Folglich können wir $(a,b,c{)}^T$ als $(a,a,a{)}^T$ schreiben. Weiterhin muss $(a,a,a{)}^T\in W$ sein, was bedeutet, dass $a=0$ gelten muss. Somit haben wir gezeigt, dass $(a,b,c{)}^T=(0,0,0{)}^T$ ist.

Daraus folgt, dass $U_3\cap W=\{(0,0,0{)}^T\}$ ist. Da der Schnitt nur den Nullvektor enthält, ist die Summe $U_3+W$ direkt. Daher können wir schließen, dass ${ℝ}^3=U_3\oplus W$.

Summe von geraden und ungeraden Polynomen

Wir betrachten nun ein Beispiel einer direkten Summe im Vektorraum der reellen Polynome $ℝ[x]$. Dabei betrachten wir die Untervektorräume $U$ und $W$ vom Polynomraum. Der Untervektorraum $U$ besteht aus allen ungeraden Polynome über $ℝ$, während $W$ der Untervektorraum der geraden Polynome über $ℝ$ ist. In Formeln ist das Vorlage:Einrücken

Die ungeraden Polynome $\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^{2i+1}$ enthalten nur Monome mit ungeraden Exponenten, während die geraden Polynome $\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^{2i}$ nur Monome mit geraden Exponenten enthalten. Zum Beispiel ist $3x^{18}+19x^{12}-x^4+8x^2$ ein gerades Polynom, während $x^{10}-x$ weder gerade noch ungerade ist. Wir zeigen nun, dass die geraden und ungeraden Polynome gemeinsam den gesamten Polynomraum $ℝ[x]$ erzeugen. In Formeln ausgedrückt: $U+W=ℝ[x]$.

Um das zu zeigen, müssen wir beweisen, dass jedes Polynom in $ℝ[x]$ als Summe eines ungeraden und eines geraden Polynoms geschrieben werden kann. Dafür betrachten wir ein beliebiges Polynom $p=\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$ aus $ℝ[x]$. Wir müssen $p$ als Summe eines geraden und eines ungeraden Polynoms schreiben. Vorlage:Einrücken Daher ist $p$ in der Summe $U+W$ enthalten.

Nun wollen wir überprüfen, ob die Summe $U+W$ eine direkte Summe bildet. Dafür müssen wir überprüfen, ob der Schnitt der beiden Untervektorräume $U\cap W$ nur den Nullvektor, also das Nullpolynom, enthält. Sei $p$ ist ein Polynom im Schnitt $U\cap W$. Dann liegt $p$ sowohl in $U$, als auch in $W$. Wir können $p$ als $\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$ schreiben. Da $p$ in $U$ liegt, besteht $p$ nur aus ungeraden Monomen. Deshalb müssen die Vorfaktoren der geraden Monome gleich $0$ sein. Also $a_i=0$ für alle geraden $i$. Da $p$ in $W$ liegt, besteht $p$ nur aus geraden Monomen. Also sind $a_i=0$ für alle ungeraden $i$. Dies bedeutet, dass alle Koeffizienten $a_i$ gleich null sind und $p$ daher das Nullpolynom ist. Somit ist $U\cap W=0$, und die Summe von $U$ und $W$ ist direkt.

Wir haben gesehen, dass $ℝ[x]=U\oplus W$. In anderen Worten, der Polynomraum $ℝ[x]$ lässt sich als direkte Summe der Untervektorräume $U$ und $W$ schreiben, wobei $U$ der Untervektorraum der ungeraden Polynome und $W$ der Untervektorraum der geraden Polynome ist.

Gegenbeispiele

Zwei Ebenen im ℝ³

Die Ebenen $U$ und $W$

Wir betrachten die folgenden zwei Ebenen:

Die beiden Ebenen spannen gemeinsam den ganzen ${ℝ}^3$ auf. Die Summe ist jedoch nicht direkt, da der Schnitt eine Gerade ist und dadurch nicht nur den Nullvektor enthält. Also gilt $U\cap W\ne \{(0,0,0{)}^T\}$.

Wir möchten dies rechnerisch überprüfen. Dafür suchen wir einen Vektor im Schnitt von $U$ und $W$, der nicht null ist. Wir betrachten einen Vektor $(a,b,c{)}^T$, der im Schnitt $U\cap W$ liegt. Weil dieser Vektor in $U$ liegt, gibt es $x,y\in ℝ$ gibt, sodass $(a,b,c{)}^T=(2x,x,y{)}^T$. Außerdem muss es $v,w\in ℝ$ geben, sodass $(a,b,c{)}^T=(0,2v,-w{)}^T$, da $(a,b,c{)}^T\in W$.

Wir suchen nun passende Werte für $x,y,v,w$, um beide Bedingungen zu erfüllen. Aus $a=2x$ und $a=0$, ergibt sich $x=0$. Wegen $2v=b=x$ folgt auch $v=0$. Weiterhin ergibt sich $b=0$ aus $b=x$. Schließlich ergibt sich $y=c=-w$.

Eine mögliche Lösung ist $x=v=0$, $y=1$ und $w=-1$. Somit liegt der Vektor $(a,b,c{)}^T=(0,0,1{)}^T$ im Schnitt von $U$ und $W$. Deshalb gilt $U\cap W\ne \{(0,0,0{)}^T\}$.

Verschiedene Polynome im Polynomraum

Sei $K$ ein Körper. Wir betrachten zwei Untervektorräume im Polynomraum $K[X]$: Sei $U=\{f\in K[X]\mid \mathrm{deg}f\le 2\}$ der Untervektorraum der Polynome von Grad höchstens zwei und sei Vorlage:Einrücken der Untervektorraum der Polynome deren Summe der Koeffizienten $0$ ist. Wir wollen untersuchen, ob die Summe $U+V$ direkt ist. Dafür müssen wir entscheiden, ob $U\cap V=0$ gilt.

Ein Element $f\in U\cap V$ ist ein Polynom $f=a_0+a_{1}X+\dots +a_n{X}^n$, das maximal Grad $2$ hat und für das $a_0+\dots ,a_n=0$ gilt. Weil das Polynom Grad zwei hat, gilt $a_3=\dots =a_n=0$. Daher erhalten wir $a_0+a_1+a_2=0$. Das heißt, $U\cap V$ besteht aus allen Polynomen $f=a_0+a_{1}X+a_2{X}^2$, für die $a_0+a_1+a_2=0$ gilt. Damit können wir ein nicht-null Element von $U\cap V$ finden, wenn wir die Gleichung Vorlage:Einrücken mit nichttrivialen $a_0,a_1,a_2$ lösen können. Eine Möglichkeit dafür ist $a_0=1,a_1=-1,a_2=0$, das heißt $f=1-X\in U\cap V$. Damit ist der Schnitt von $U$ und $V$ nicht Null und die Summe $U+V$ somit nicht direkt.

Eindeutige Zerlegung von Vektoren

Bereits in der Herleitung haben wir uns überlegt, dass bei der direkten Summe die Zerlegung von Vektoren eindeutig ist. Das beweisen wir hier noch einmal konkret.

Innere direkte Summe und disjunkte Vereinigung von Mengen

Wir können uns die Summe von zwei Untervektorräumen als strukturerhaltende Vereinigung vorstellen: Das Bilden der Summe ist „strukturerhaltend“, weil das Ergebnis wieder ein Untervektorraum ist. Also bleibt die Vektorraumstruktur beim Summe Bilden erhalten. Wir können uns die Konstruktion als Vereinigung vorstellen, weil die Summe beide Untervektorräume enthält. Die Untervektorräume $U$ und $W$ sind Teilmengen der Summe $U+W$. Die Summe $U+W$ ist der kleinste Untervektorraum, der die beiden Untervektorräume $U$ und $W$ enthält. So wie man bei Mengen Vereinigungen bilden kann, so funktionieren auch die Summen von Untervektorräumen.

Die direkte Summe ist ein Spezialfall der Summe von Untervektorräumen. Damit ist jede direkte Summe auch eine strukturerhaltende Vereinigung. „Direkt zu sein“ ist eine Eigenschaft einer Summe von Untervektorräumen. Wir wollen nun sehen, ob es eine Eigenschaft der Vereinigung von Mengen gibt, die dem Direktsein einer Summe entspricht.

Direkte Summen sind dadurch charakterisiert, dass die Zerlegung der Vektoren in der Summe eindeutig ist. Haben wir einen Vektor $v\in U\oplus W$ mit $v=u+w$, wobei $u\in U$ und $w\in W$, dann sind die Vektoren $u$ und $w$ eindeutig. Bei einer Vereinigung $X\cup Y$ von Mengen $X$ und $Y$ liegt jedes Element $a\in X\cup Y$ in $X$ oder in $Y$. Das Element kann auch in beiden liegen, das heißt, wir wissen im Allgemeinen nicht eindeutig, wo sie liegen. Wir können $a$ genau dann nicht eindeutig zuordnen, wenn $a\in X\cap Y$, also im Schnitt, liegt. Damit ist die Zuordnung von Elementen $a\in X\cup Y$ genau dann eindeutig, wenn $X\cap Y$ leer ist. Tatsächlich entspricht dieses Kriterium genau dem Kriterium, damit eine Summe direkt ist: Wir wollen, dass $U\cap W=\{0\}$, was der kleinstmögliche Vektorraum ist, der Schnitt enthält also nichts aus $U$ und $W$ mehr (außer der Null, die er als Vektrorraum sowieso enthalten muss). Das ist genau die Definition einer disjunkten Vereinigung. Das heißt, die direkte Summe von Untervektorräumen entspricht intuitiv der disjunkten Vereinigung von Mengen.

Basis und Dimension

Wir haben gesehen, dass die direkte Summe ein Spezialfall der Summe von Untervektorräumen ist. Also können wir alles, was wir über die Summe wissen, auf die direkte Summe übertragen. Wir haben schon gesehen, dass die Vereinigung von Basen von $U$ und $W$ ein Erzeugendensystem von $U+W$ ist. Das bedeutet, wenn $B_U$ eine Basis von $U$ und $B_W$ eine Basis von $W$ ist, dann ist $B_U\cup B_W$ ein Erzeugendensystem von $U+W$. Wenn $U$ und $W$ endlich dimensional sind, gilt die Dimensionsformel Vorlage:Einrücken

Damit wissen wir noch mehr, wenn die Summe $U+W$ direkt ist, also wenn $U+W=U\oplus W$ gilt: Dann ist $U\cap W=\{0\}$. Da $\dim (\{0\})=0$ ist, gilt im endlich dimensionalen Fall Vorlage:Einrücken Also ist die Dimension der Summe $U+W$ die Summe der Dimensionen $\dim (U)$ und $\dim (W)$. Wenn nun $B_U$ eine Basis von $U$ und $B_W$ eine Basis von $W$ ist, dann können wir folgern Vorlage:Einrücken Weil $U\cap W=\{0\}$ gilt, ist die Vereinigung der Basen von $U$ und $W$ disjunkt, d.h. $B_U\uplus B_W$. Deshalb gilt $|B_U|+|B_W|=|B_U\cup B_W|$. Weil $B_U\cup B_W$ ein Erzeugendensystem von $U+W$ ist und $\dim (U+W)=|B_U\cup B_W|$ ist, muss $B_U\cup B_W$ auch eine Basis der Summe $U+W$ sein.

Wir haben damit gesehen, dass im Endlichdimensionalen die Vereinigung der Basen von $U$ und $W$ eine Basis von $U\oplus W$ ist. Das gilt auch allgemein:

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz Wir können nun auch aus dem Satz folgern, dass Vorlage:Einrücken gilt.

Aufgaben

Für die folgenden beiden Aufgaben solltest du wissen, was eine lineare Abbildung ist.

Für diese Aufgabe brauchst du zusätzlich die Begriffe Kern und Bild einer linearen Abbildung.

Im ${ℝ}^2$ können wir die Aussage aus der vorherigen Aufgabe gut veranschaulichen: