Mathe für Nicht-Freaks: Regel von L'Hospital

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Als letzte Anwendung des Mittelwertsatzes, genauer gesagt des zweiten Mittelwertsatzes, wollen wir die Regel von L’Hospital herleiten. Diese stellt eine praktische Möglichkeit dar, den Grenzwert einer Quotientenfunktion durch separates Ableiten von Zähler und Nenner zu bestimmen. Benannt ist die Regel nach dem französischen Mathematiker Guillaume François Antoine L’Hospital, sie stammt allerdings von dem Schweizer Mathematiker Johann Bernoulli.

Anwendungsbeispiele

Standardtypen $\frac{0}{0}$ und $\frac{\pm \mathrm{\infty }}{\pm \mathrm{\infty }}$

Zunächst behandeln wir die Typen, bei denen sich die Regeln direkt anwenden lassen.

Manchmal ist es auch notwendig die Regeln von L’Hospital mehrmals hintereinander anzuwenden, bevor wir zum gewünschten Ergebnis gelangen.

Typ $0\cdot (\pm \mathrm{\infty })$

Hier sind die Regeln von L’Hospital nicht unmittelbar anwendbar. Der „Trick“ ist es daher durch Kehrwertbildung einen Bruchterm zu erzeugen, und so einen Grenzwert in der Standardform $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\pm \mathrm{\infty }}{\pm \mathrm{\infty }}$ zu erhalten.

Typ $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$

Als nächstes behandeln wir Differenzen von Grenzwerten, die beide uneigentlich gegen $\mathrm{\infty }$ konvergieren. Oftmals handelt es sich dabei um Differenzen von Bruchtermen. Durch Hauptnennerbildung und Zusammenfassen zu einem Bruchterm kann der Ausdruck häufig so umgeformt werden, dass die Regeln von L’Hospital anwendbar sind.

Typen $0^0$, $0^{\mathrm{\infty }}$, ${\mathrm{\infty }}^0$ und $1^{\mathrm{\infty }}$

Tritt einer der beschriebenen Fälle ein, so wenden wir den Trick an, den wir schon bei der Berechnung der Ableitung von verallgemeinerten Potenzfunktionen angewendet haben: Wir schreiben zunächst $f^g$ als $\exp \circ (g\cdot \ln \circ f)$. Da $\exp$ auf ganz $ℝ$ stetig ist, lässt sich der Limes „nach Innen ziehen“. Der dort gebildetet Grenzwert ist nun sehr häufig von Typ $0\cdot \pm \mathrm{\infty }$ und lässt sich wie oben beschrieben mit den Regeln von L'Hopital berechnen.

Warnbeispiele

Nicht immer ist es sinnvoll die Regel von L’Hospital anzuwenden. Insbesondere darf sie nicht angewendet werde, falls die Voraussetzungen nicht erfüllt sind. In diesem Fall kann das überstürzte Anwenden der Regel ein falsches Ergebnis liefern. Daher wollen wir einige Warnbeispiele besprechen, die dies veranschaulichen sollen.

L’Hospital kann sehr langwierig/umständlich sein - Es muss nicht immer L’Hospital sein!

Wachstumsverhalten von Exponential- und Logarithmusfunktion

Betrachten wir hierzu den Grenzwert

Dieser ist vom Typ $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ und L’Hospital ist somit anwendbar, und ergibt

Der Limes ist nun wieder von Typ $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$. Wiederholen wir die Regel, so gilt

Wir erkennen bei der Anwendung der Regel von L’Hospital das folgende Muster: Der Zähler bleibt bleibt gleich bis auf den Vorfaktor, dieser ändert aber am Divergenzverhalten gegen $\mathrm{\infty }$ nichts. Im Nenner vermindert sich die Potenz von $x$ in jedem Schritt um eins. Wenden wir daher die Regel von L’Hospital daher insgesamt $k$-mal an, so erhalten wir

Dieses Resultat hätten wir allerdings auch wesentlich schneller und eleganter erreichen können. Wir haben weiter oben schon durch einmaliges Anwenden von L’Hospital gezeigt

für alle $\alpha >0$. Damit folgt nun

da $\tilde{\alpha }=\frac{\alpha }{k}>0$.

Wachstumsverhalten von Polynomen

Betrachten wir nun den folgenden Grenzwert einer gebrochen rationalen Funktion für $x\to \mathrm{\infty }$:

Hier liegt, wegen $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^3-4x+1=\mathrm{\infty }=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^3-3x^2+2x-4$ der Fall $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ vor, und durch dreimaliges Anwenden der Regel von L’Hospital erhalten wir

Alternativ lässt sich der Grenzwert auch ohne L’Hospital durch ausklammern und anschließendem Kürzen der höchsten Potenz ($x^3$) berechnen:

Sind nun allgemein $p(x)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_1{x}^1+a_0$ und $q(x)=x^n+b_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +b_1{x}^1+b_0$ normierte Polynome, so gilt ebenfalls

Wollen wir dies mit der Regel von L’Hospital zeigen, so müssen wir diese insgesamt $n$-mal anwenden, und erhalten

Zur Berechnung ohne L’Hospital können wir wieder die höchste Potenz, also $x^n$, ausklammern, kürzen, und anschließend den Grenzwert berechnen:

L’Hospital kann nicht zum Erfolg führen

In diesem Abschnitt wollen wir einige Beispiele von Grenzwerten vorstellen, bei denen die Regel von L’Hospital „versagt“. Dies kann passieren, da die Regel von L’Hospital eine hinreichende, jedoch keine notwendige Bedingung für die Existenz des Grenzwerts $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$ ist.

L’Hospital führt in Endlosschleife

Manchmal kann es vorkommen, dass sich die Regel von L’Hospital „im Kreis dreht“. Ein Beispiel ist

Dieser Grenzwert ist vom Typ $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$, und L’Hospital ist anwendbar. Tun wir dies, so erhalten wir

Der entstandene Grenzwert ist nun wieder vom Typ $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$. Schauen wir genauer hin, so erkennen wir, dass sich durch die Anwendung von L’Hospital Zähler und Nenner vertauscht haben. Wenden wir nun die Regel erneut an, so ergibt sich

Es entsteht also wieder der ursprüngliche Grenzwert. Die Regel von L’Hospital bringt uns daher bei diesem Grenzwert nicht weiter! Allerdings gibt es eine relativ einfache Möglichkeit ohne L’Hospital ans Ziel zu gelangen:

Klammern wir im Zähler und Nenner $e^x$ aus, und kürzen anschließend, so erhalten wir

L’Hospital führt in Sackgasse

Es kann auch passieren, dass die Anwendung von L’Hospital die Situation sogar „verschlimmert“. Das heißt, ein Grenzwert, der existiert, kann durch Anwendung der Regel in einen Grenzwert umgeformt werden, der nicht mehr existiert. Beachtet daher immer: Aus $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=c$ folgt $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=c$, aber nicht umgekehrt. Insbesondere kann daraus, dass $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ nicht existiert, nicht gefolgert werden, dass $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}$ nicht existiert. Betrachten wir hierzu

Es gilt $2x\pm \sin (x)\ge 2x-1\to \mathrm{\infty }$. Daher liegt der Fall $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ vor. Anwendung von L’Hospital liefert nun

Nun haben wir aber ein Problem, den dieser Grenzwert existiert nicht. Betrachten wir nämlich die Folgen $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit

Diese divergiert bestimmt gegen $\mathrm{\infty }$. Es gilt jedoch

Dieser Grenzwert existiert nicht (auch nicht uneigentlich), da $(-1{)}^{n+1}$ divergiert. Dies bedeutet, dass auch hier L’Hospital unbrauchbar ist. Dass der ursprüngliche Grenzwert sehr wohl existiert, sehen wir an folgendem Umformungstrick: Wegen $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}=0$ gilt

L’Hospital kann ein falsches Ergebnis liefern

Dies kann immer dann passieren, wenn die Regel angewendet wird, obwohl die Voraussetzungen nicht erfüllt sind. Ein Beispiel ist

Genau hinsehen, in diesem Fall geht $x$ gegen $\pi$, nicht $0$! Da Zähler und Nenner stetig in $\pi$ sind, gilt

L’Hospital ist für den Fall $\frac{0}{\pi }$ nicht anwendbar. Wendet ihr die Regel trotzdem an, so erhaltet ihr das falsche Ergebnis

Daher solltet ihr immer zuerst überprüfen, ob die Regel von L’Hospital überhaupt anwendbar bzw. nötig ist.

Folgerung: Hinreichendes Kriterium für Differenzierbarkeit

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