Mathe für Nicht-Freaks: Dimension eines Vektorraums

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Wir definieren in diesem Artikel die Dimension eines Vektorraums und zeigen einige elementare Eigenschaften wie die Dimensionsformel.

Motivation

Wir versuchen, in diesem Artikel den Begriff einer Dimension eines Vektorraums zu definieren. Dabei wäre es schön, wenn wir gängige Beispiele für Vektorräume wie ${ℝ}^3$ finden können, welche "offensichtliche Dimension" haben. Im Fall von ${ℝ}^3$ wäre das ${\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}}_{ℝ}({ℝ}^3)=3$. Dabei fällt uns auf, dass dieser Vektorraum eine Basis mit $3$ Elementen besitzt, zum Beispiel die Standardbasis $B_3=\{e_1,e_2,e_3\}$.

Analog wollen wir, dass für einen beliebigen Körper $K$ der Vektorraum $K^n$ die Dimension ${\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}}_K(K^n)=n$ hat. Auch hier finden wir mit der Standardbasis $B_n=\{e_1,...,e_n\}$ eine Basis mit genau $n$ Vektoren.

Das legt nahe, die Dimension eines Vektorraums $V$ als die Anzahl der Vektoren einer Basis von $V$ zu definieren. Nun ist zunächst aber nicht klar, dass jede Basis die gleiche Mächtigkeit besitzt. Das werden wir beweisen müssen.

Definition der Dimension

Aus dieser Definition wird nicht klar, dass die Dimension unabhängig von der Wahl der Basis unseres Vektorraums ist. Es könnte zum Beispiel passieren, dass ein Vektorraum verschiedenen Basen mit unterschiedlich vielen Elementen besitzt. Dass dies nicht geschehen kann, wird nun im nächsten Satz bewiesen:

Eigenschaften der DimensionVorlage:Anker

Wir wollen nun einige Eigenschaften des Dimensionsbegriffes beweisen: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Um zu zeigen, dass es wichtig ist, $V$ als endlich-dimensional vorauszusetzen, betrachten wir ein Beispiel eines unendlich-dimensionalen Vektorraumes, der einen echten unendlich-dimensionalen Unterraum besitzt:

Dimensionsformel

Beweis der Dimensionsformel

Die folgende Dimensionsformel gibt an, wie sich die Dimension der Summe zweier endlich dimensionaler Untervektorräume $U,W\subseteq V$ eines $K$-Vektorraums $V$ berechnen lässt. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Als nächstes betrachten wir eine Folgerung aus der Dimensionsformel, die eine Aussage über die Summe von Untervektorräumen trifft. Anschaulich besagt diese, dass das Komplement eines Unterraums in Bezug auf die Dimension den fehlenden "Rest" darstellt.

Übungsaufgaben zur Dimensionsformel

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