Mathe für Nicht-Freaks: Monomorphismus (Lineare Algebra)

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Lineare Abbildungen erhalten Linearkombinationen. Wir lernen nun spezielle lineare Abbildungen kennen, die lineare Unabhängigkeit erhalten. Diese nennt man Monomorphismen.

Motivation

Wir haben lineare Abbildungen kennengelernt als Funktionen zwischen Vektorräumen, die Linearkombinationen erhalten. Sie erfüllen also die Eigenschaft, dass eine Linearkombination aus der Funktion „herausgezogen“ werden kann:

Mit Hilfe der Linearkombinationen haben wir die Eigenschaft der linearen Unabhängigkeit definiert. Im Kontext der linearen Abbildungen stellt sich nun die Frage, ob diese Eigenschaft unter Anwendung einer linearen Abbildung erhalten bleibt oder nicht.

Zur Wiederholung: Eine endliche Menge von Vektoren ist genau dann linear unabhängig, wenn ihre Linearkombinationen eindeutig sind. Es gilt also für linear unabhängige Vektoren $v_1,\dots ,v_n$ und Skalare ${\lambda }_i$ und ${\mu }_i$

Sind die Bilder linear unabhängiger Vektoren unter einer linearen Abbildung wieder linear unabhängig? Nein. Betrachten wir die lineare Abbildung zwischen den $ℝ$-Vektorräumen ${ℝ}^2$ und $ℝ$ gegeben durch $f:{ℝ}^2\to ℝ,(x,y{)}^T\mapsto x+2y$. Diese bildet die linear unabhängigen Vektoren $(1,0{)}^T$ und $(0,1{)}^T$ auf die linear abhängigen Vektoren $f((1,0{)}^T)=1$ und $f((0,1{)}^T)=2$ ab.

Welche zusätzliche Eigenschaft muss eine lineare Abbildung haben, damit lineare Unabhängigkeit erhalten bleibt? Dazu nehmen wir linear unabhängige Vektoren $v_1,\dots ,v_n$. Damit eine lineare Abbildung $f$ diese Eigenschaft der linearen Unabhängigkeit erhält, muss gelten:

Wir formen um:

Daher muss $f$ die folgende Eigenschaft besitzen, um lineare Unabhängigkeit zu erhalten:

Indem wir $x:={\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i{v}_i$ und $y:={\sum }_{i=1}^n{\mu }_i{v}_i$ setzen, wird klarer, was das für eine Eigenschaft ist. Wir erhalten, dass

für alle $x,y\in V$, die sich als Linearkombination der $v_1,\dots ,v_n$ schreiben lassen.

Diese Aussage soll aber für alle linear unabhänigen Mengen und damit auch für Basen gelten. Im Falle einer Basis lassen sich aber alle $x,y$ als eine solche Linearkombination schreiben, was bedeutet, dass $f$ injektiv sein muss. Also ist Injektivität eine notwendige Bedingung, damit eine lineare Abbildung lineare Unabhängigkeit erhält.

Ist Injektivität auch eine ausreichende Bedingung für diese Eigenschaft? Sei dafür $f$ eine injektive lineare Abbildung und $v_1,\dots ,v_n\in V$ linear unabhängige Vektoren. Wir sollen herausfinden, ob auch $f(v_1),\dots ,f(v_n)$ linear unabhängig sind. Nach unseren obigen Überlegungen reicht es, für Skalare ${\lambda }_i$ und ${\mu }_i\in K$ das folgende zu zeigen: Vorlage:Einrücken Gelte Vorlage:Einrücken Dann folgt aus der Injektivität von $f$, dass Vorlage:Einrücken Weil $v_1,\dots ,v_n$ linear unabhängig sind, gilt ${\lambda }_i={\mu }_i$ für alle $i$. Damit haben wir die obige Aussage gezeigt und $f$ erhält lineare Unabhängigkeit.

Eine lineare Abbildung erhält also genau dann lineare Unabhängigkeit, wenn sie injektiv ist. Injektive, lineare Abbildungen nennen wir Monomorphismen.

Äquivalente Charakterisierungen von Monomorphismen Vorlage:Anker

Wir haben uns in der Motivation überlegt, dass Monomorphismen genau die linearen Abbildungen sein sollten, die lineare Unabhängigkeit von Vektoren erhalten. Das beweisen wir nun formal:

Wir können noch ein anderes Kriterium für Monomorphismen herleiten: Angenommen, wir haben linear unabhängige Vektoren $v_1,\dots ,v_n\in V$. Die lineare Unabhängigkeit bedeutet, dass die Vektoren "unabhängige Informationen" beschreiben. Wir haben oben gesehen, dass Monomorphismen lineare Unabhängigkeit erhalten. Das bedeutet, dass Monomorphismen unabhängige Informationen auf unabhängige Informationen abbildet. Also erhalten Monomorphismen alle Informationen. Angenommen, wir haben einen Monomorphismus $f:V\to W$ und einen weiteren Vektorraum $U$ und Abbildungen $a,b:U\to V$, sodass $f\circ a=f\circ b$ gilt. Da durch die Anwendung von $f$ keine Informationen verloren gegangen sind, müssen $a$ und $b$ bereits vor der Anwendung gleich gewesen sein. Also gilt für einen Monomorphismus $f$, aus $f\circ a=f\circ b$ folgt $a=b$. Diese Eigenschaft heißt auch Linkskürzbarkeit. Dass die Monomorphismen die Linkskürzbarkeit tatsächlich erfüllen und die Linkskürzbarkeit bereits Monomorphismen charakterisiert, zeigen wir im nächsten Satz.

Monomorphismen zwischen endlich dimensionalen Vektorräumen

Die Eigenschaft, dass Monomorphismen lineare Unabhängigkeit erhalten, führt uns zu folgender Überlegung:

Es muss in $W$ also „Platz“ für mindestens $\dim V$ viele linear unabhängige Vektoren geben, damit ein Monomorphismus existiert, und umgekehrt.

Zusammenhang mit dem Kern

Alternative Herleitung des Monomorphismus

Lineare Abbildungen erhalten lineare Unabhängigkeit genau dann, wenn sie injektiv sind. Diese Abbildungen bezeichnen wir als Monomorphismen. Um dies herzuleiten, haben wir uns zunächst klargemacht wie lineare Unabhängigkeit definiert wird, nämlich über die Eindeutigkeit der Darstellung von Vektoren als Linearkombination, und zwar von allen Vektoren, die von der gegebenen Menge an Vektoren erzeugt werden können. Anstatt alle diese Vektoren zu betrachten, kann man die lineare Unabhängigkeit allerdings auch nur über die Darstellung des Nullvektors definieren: $v_1,\dots ,v_n$ sind nämlich genau dann linear unabhängig, wenn aus ${\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i{v}_i=0$ folgt, dass alle Koeffizienten ${\lambda }_i=0$ sind.

Was wäre, wenn wir mit dieser Definition versucht hätten, die Definition des Monomorphismus herzuleiten? Wir suchen also wieder eine Eigenschaft für eine lineare Abbildung $f$, mit der wir aus der linearen Unabhängigkeit der $v_i$ die lineare Unabhängigkeit der $f(v_i)$ folgern können. Seien hierzu $v_1,\dots ,v_n$ linear unabhängig. Wir wollen nun zeigen, dass gilt:

Das ist äquivalent zu

Unsere gesuchte Eigenschaft muss in diesem Fall gewährleisten, dass ${\sum }_{i=1}^n{\lambda }_i{v}_i=0$ ist. Denn dann können wir mit der linearen Unabhängigkeit der $v_i$ zeigen, dass alle ${\lambda }_i=0$ sind, was auch die lineare Unabhängigkeit der $f(v_i)$ beweist.

$f$ braucht also die Eigenschaft: $f(v)=0⟹v=0$ für alle Vektoren $v$. Diese Eigenschaft ist nach dem Prinzip der Kontraposition äquivalent zu $v\ne 0⟹f(v)\ne 0$. Die gesuchte Eigenschaft ist also: „Die Menge der Elemente, die auf die Null abgebildet werden, besteht nur aus dem Nullelement.“ Diese Eigenschaft ist im Übrigen der Spezialfall der Injektivität im Punkt $0$ und sagt aus, dass nur das Nullelement des Definitionsvektorrraums auf das Nullelement des Bildvektorraums abgebildet wird.

Definition des Kerns

Die Menge der Elemente, die auf die Null abgebildet werden, hat also in diesem Kontext eine besondere Bedeutung. Deswegen hat sie auch einen eigenen Namen, man spricht vom Kern der Abbildung.

Zusammenhang von Kern und Injektivität

Wir kennen nun zwei Eigenschaften von linearen Abbildungen, die garantieren, dass diese lineare Unabhängigkeit erhalten: Einerseits die Injektivität und andererseits, dass der Kern der linearen Abbildung trivial ist. Beide Eigenschaften bewirken dasselbe. Es lässt sich also vermuten dass beide Eigenschaften äquivalent sind. Wie der folgende Beweis zeigen wird, stimmt diese Vermutung:

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Alternative Definition des Monomorphismus

Wir haben also eine zweite Eigenschaft kennengelernt, mit der man Monomorphismen definieren kann. Eine lineare Abbildung ist genau dann ein Monomorphismus, wenn ihr Kern nur aus der Null besteht. Man sagt auch, der Kern sei „trivial“. Wir können so eine alternative Definition für Monomorphismen formulieren:

Übungsaufgaben

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