Mathe für Nicht-Freaks: Funktionenraum

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}}

In diesem Artikel betrachten wir Funktionenräume. Ein Funktionenraum ist ein Vektorraum, dessen Elemente Abbildungen $f:X\to V$ von einer nichtleere Menge $X$ in einen Vektorraum $V$ sind.

Herleitung

Ein Vektorraum mit überabzählbar vielen Einträgen

Wir haben einige Beispiele für $K$-Vektorräume über einem allgemeinen Körper $K$ kennengelernt: Für eine natürliche Zahl $n$ gibt es den Koordinatenraum $K^n$. Die Vektoren in $K^n$ sind Tupel $(x_1,\dots ,x_n)$ mit $x_i\in K$. Die Vektoren in $K^n$ haben also $n$ Koordinaten. Im Folgenraum $\omega$ sind die Vektoren Folgen in $K$, d.h. die Vektoren haben die Form $(x_i{)}_{i\in \mathbb{N}}=(x_1,x_2,x_3,\dots )$ mit $x_i\in K$. Intuitiv haben die Vektoren im Folgenraum $\omega$ so viele Koordinaten, wie es natürliche Zahlen gibt, also abzählbar unendlich viele.

Gibt es einen Vektorraum, dessen Vektoren noch mehr als abzählbar unendlich viele Koordinaten haben? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir uns erst überlegen, wie wir Vektoren mit abzählbar unendlich vielen Koordinaten gefunden haben. Dafür haben wir Folgen über dem Körper $K$ betrachtet. Formal ist eine Folge $(x_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ eine Funktion Vorlage:Einrücken Also besteht der Folgenraum $\omega$ aus allen Funktionen aus den natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ in den Körper $K$. Weil der Definitionsbereich der Funktionen die abzählbar unendliche Menge $\mathbb{N}$ ist, haben die Vektoren im Folgenraum abzählbar unendlich viele Koordinaten.

Wir können auch Funktionen aus einer Menge, die mächtiger als $\mathbb{N}$ ist, untersuchen. Dafür nehmen wir eine überabzählbare Menge $X$ und betrachten alle Funktionen $X\to K$. So erhalten wir die Menge aller Abbildungen von $X$ nach $K$: Vorlage:Einrücken Was ist eine mögliche Vektorraumstruktur auf $\mathrm{Abb}(X,K)$? Wieder können wir uns anschauen, wie die Vektorraumstruktur beim Folgenraum funktioniert. Im Folgenraum ist die Vektoraddition und skalare Multiplikation komponentenweise definiert, d.h. für zwei Folgen $(x_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$, $(y_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ und einem Skalar $\lambda \in K$ gilt Vorlage:Einrücken Wir erinnern uns, dass die Folgen die Folgen $x=(x_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ und $y=(y_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ formal Funktionen $x$ und $y:\mathbb{N}\to K$ sind: Vorlage:Einrücken Wie sieht die Funktionsvorschrift von $x+y$ und $\lambda \cdot x$ aus? Es ist Vorlage:Einrücken und Vorlage:Einrücken Also sind die Funktionen $x+y$ und $\lambda \cdot x$ definiert durch $(x+y)(i)=x(i)+y(i)$ und $(\lambda \cdot x)(i)=\lambda \cdot x(i)$.

So können wir auch allgemein die Vektoraddition $⊞$ und skalare Multiplikation $⊡$ in $\mathrm{Abb}(X,K)$ mit einer nichtleeren Menge $X$ definieren. Für zwei Funktionen $f:X\to K$ und $g:X\to K$ ist $f⊞g$ gegeben durch $(f⊞g)(x)=f(x)+g(x)$ für $x\in X$. Genauso ist die Skalarmultiplikation gegeben durch $(\lambda ⊡f)(x)=\lambda \cdot f(x)$.

Der Vektorraum $\mathrm{Abb}(X,K)$ hat für jedes Element in $X$ eine "Koordinate". Da $X$ überabzählbar ist, hat $\mathrm{Abb}(X,K)$ überabzählbar viele Koordinaten.

Verallgemeinerung

Wir haben uns überlegt, dass die Menge aller Abbildungen $\mathrm{Abb}(X,K)$ ein $K$-Vektorraum sein sollte. Können wir noch einen allgemeineren Vektorraum der Abbildungen $\mathrm{Abb}(X,Y)$ finden? Was muss eine Menge $Y$ erfüllen, damit wir eine komponentenweise Addition $⊞$ und skalare Multiplikation $⊡$ auf $\mathrm{Abb}(X,Y)$ definieren können? Für zwei Abbildungen $f,g:X\to Y$ soll $f⊞g:X\to Y$ gegeben sein durch Vorlage:Einrücken für jedes $x\in X$. Um die Abbildung $f⊞g$ zu definieren, muss also $f(x)+g(x)\in Y$ eindeutig bestimmt sein. D.h. wir müssen in $Y$ addieren können. Die skalare Multiplikation $\lambda ⊡f:X\to Y$ von $\lambda \in K$ mit der Abbildung $f$ ist definiert durch Vorlage:Einrücken mit $x\in X$. Hier muss $\lambda \cdot f(x)\in Y$ eindeutig bestimmt sein. D.h. wir müssen Elemente aus $K$ mit Elementen in $Y$ multiplizieren können. Wir brauchen also eine skalare Multiplikation in $Y$.

Damit $\mathrm{Abb}(X,Y)$ ein $K$-Vektorraum ist, braucht man in $Y$ eine Addition und skalare Multiplikation. D.h. $Y$ muss ein $K$-Vektorraum sein. Für jeden $K$-Vektorraum $V$ und jede Menge $X$ sollte auch die Menge der Abbildungen $\mathrm{Abb}(X,V)$ einen $K$-Vektorraum bilden. Diesen nennen wir Funktionenraum. Wir werden später noch formal beweisen, dass $\mathrm{Abb}(X,V)$ tatsächlich ein Vektorraum ist.

Definition des Funktionenraums

Sei $K$ ein Körper, $(V,{+}_V,{\cdot }_V)$ ein $K$-Vektorraum und $X$ irgendeine nichtleere Menge.

Dann können wir die Menge der Abbildungen von $X$ nach $V$ definieren:

Auf dieser Menge definieren wir eine Addition und eine Skalarmultiplikation:

Erklärung zur Definition der Addition und skalaren Multiplikation

Wir haben die Vektoraddition $⊞$ und die skalare Multiplikation $⊡$ im Funktionenraum $\mathrm{Abb}(X,V)$ formal definiert. Die Addition ist definiert durch $(f⊞g)(x)=f(x){+}_{V}g(x)$. Aber was heißt das nun?

Für die Funktionen $f,g:X\to V$ haben wir eine Funktion $f⊞g:X\to V$ definiert. Jede Funktion $X\to V$ ist durch ihre Werte an den $x\in X$ bestimmt. Das heißt, um $f⊞g$ zu definieren, müssen wir $(f⊞g)(x)$ für $x\in X$ bestimmen. In unserer Definition ist $(f⊞g)(x)$ festgelegt als die Addition der Vektoren $f(x)\in V$ und $g(x)\in V$, also $f(x){+}_{V}g(x)$.

Ähnlich funktioniert die skalare Multiplikation. Für ein Skalar $\lambda \in K$ und eine Funktion $f:X\to V$ haben wir die Funktion $\lambda ⊡f:X\to V$ definiert. Die Werte dieser neuen Funktion $(\lambda ⊡f)(x)$ sind gegeben durch die skalare Multiplikation von $\lambda$ mit dem Vektor $f(x)$, also $\lambda {\cdot }_{V}f(x)$. Vorlage:Einrücken

Die Menge der differenzierbaren Funktionen als Untervektorraum eines Funktionsraums

Im vorherigen Abschnitt haben wir gezeigt, dass die Menge aller Abbildungen von einer nichtleeren Menge $X$ in einen $K$-Vektorraum $V$ wieder ein $K$-Vektorraum ist. Wir betrachten nun den Spezialfall $X=]0,1[\subseteq ℝ$, $K=ℝ$ und $V=ℝ$. Wir wissen bereits, dass $V$ ein $K$-Vektorraum ist. Wir haben also bisher gezeigt, dass die Menge der Abbildungen $f:]0,1[\to ℝ$ ein $ℝ$-Vektorraum ist.

Wir betrachten nun die Menge der differenzierbaren Funktionen $f:]0,1[\to ℝ$. Wir bezeichnen diese mit $𝒟(]0,1[,ℝ)$.

Zusammenhang mit dem Folgenraum

Wir haben bereits gesehen, dass die Menge der Folgen über $K$ einen Vektorraum bezüglich der koordinatenweisen Operationen bildet. Eine Folge $(a_n{)}_n$ mit Einträgen in $K$ können wir auffassen als Funktion $\mathbb{N}\to K,n\mapsto a_n$. In diesem Sinne ist der Folgenraum ein Spezialfall des Funktionenraums $\mathrm{Abb}(X,V)$, indem wir $X:=\mathbb{N}$ und $V:=K$ setzen.

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}