Mathe für Nicht-Freaks: Der Körper als Vektorraum

Sei $K$ ein Körper. Wir betrachten nun $K$ als Vektorraum über sich selbst.

Einführung

Aus der Schule kennen wir schon den Vektorraum ${ℝ}^3$ über dem Körper $ℝ$. Die Vektoren in ${ℝ}^3$ haben die Form $(x,y,z{)}^T$ mit $x,y,z\in ℝ$. Wir können die Vektoren in einem 3-dimensionalen Koordinatensystem betrachten. Da ${ℝ}^3$ ein Vektorraum ist, können wir Vektoren addieren und skalieren.

Wir kennen auch den Vektorraum ${ℝ}^2$. Die Vektoren in ${ℝ}^2$ haben die Form $(x,y{)}^T$ mit $x,y\in ℝ$. Wir können ${ℝ}^2$ aus ${ℝ}^3$ bekommen, indem wir eine der Koordinaten $x,y,z$ (z.B. die letzte) streichen. Anschaulich gehen wir dann vom 3-dimensionalen Koordinatensystem zur $xy$-Ebene über. Beim Weglassen einer Koordinate von ${ℝ}^3$ geht also die Vektorraumstruktur nicht kaputt. Was passiert, wenn wir eine weitere Koordinate streichen?

Lassen wir z.B. die zweite Koordinate von $(x,y)$ weg, bleibt nur $x$ übrig und wir erhalten ein Element in $ℝ$. Anschaulich gehen wir dadurch von der $xy$-Ebene zur $x$-Achse über. Auch hier sollte beim Streichen einer Koordinate die Vektorraumstruktur nicht kaputt gehen.

Die Elemente in $ℝ$ können wir (wie Vektoren) addieren und skalieren, denn für alle $x,y\in ℝ$ ist $x+y\in ℝ$ und für alle $\lambda \in ℝ$ und $x\in ℝ$ ist $\lambda \cdot x\in ℝ$.

• 
  Addition der Vektoren $1$ und $2$ auf der Zahlengerade
• 
  Skalare Multiplikation des Vektors $\sqrt{2}$ mit dem Skalar $1,5$ auf der Zahlengerade

Jetzt sollte $ℝ$, also unser Körper, ein $ℝ$-Vektorraum sein. Anschaulich ist dieser Vektorraum die Zahlengerade.

Wir können diese Idee auf einen beliebigen Körper $K$ übertragen. Auch in $K$ können wir Elemente addieren und mit Skalaren in $K$ multiplizieren. Deshalb vermuten wir, dass $K$ ein $K$-Vektorraum ist.

Definition der Vektorraumstruktur

Sei $(K,+,\cdot )$ ein Körper. Dann können wir eine Addition und eine Skalarmultiplikation definieren.