Mathe für Nicht-Freaks: Folgerungen der Anordnungsaxiome

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Ähnlich wie bei den Körperaxiomen beweisen wir nun erste kleinere Sätze, die direkt auf den Anordnungsaxiomen aufbauen. Insbesondere werden wir die charakteristischen Eigenschaften der Kleiner-Relation beweisen, die wir bereits im Abschnitt „Herleitung der Anordnungsaxiome“ erwähnt haben.

Übersicht zu den Folgen der Anordnungsaxiome

In diesem Kapitel werden wir zeigen, dass folgende Aussageformen allgemeingültig in $ℝ$ sind:

• Eigenschaften der Kleiner-Relation:
  • Trichotomie: $x<y\dot{\vee }x=y\dot{\vee }x>y$
  • Transitivität: $x<y\wedge y<z⟹x<z$
  • Translationsinvarianz: $x<y⟺x+a<y+a$
• Addition / Negatives und Kleiner-Relation:
  • $x<y\wedge a<b⟹x+a<y+b$
  • $x<y⟺-y<-x$
• Multiplikation und Kleiner-Relation:
  • $0<a\wedge x<y⟹ax<ay$
  • $0\le x<y\wedge 0\le a<b⟹ax<by$
  • $x<y\wedge a<0⟹ay<ax$
  • $x<0\wedge y<0⟹0<xy$
  • $x\ne 0⟹x^2>0$
• Inverses und Kleiner-Relation:
  • $0<x⟺0<x^{-1}$
  • $x<0⟺x^{-1}<0$
  • $0<x<y⟺0<y^{-1}<x^{-1}$
  • $x<y<0⟺y^{-1}<x^{-1}<0$
  • $x<0<y⟺x^{-1}<0<y^{-1}$
• Bernoulli-Ungleichung:
  • $x\ge -1\wedge n\in \mathbb{N}⟹(1+x{)}^n\ge 1+n\cdot x$

Die Bernoulli-Ungleichung $(1+x{)}^n\ge 1+n\cdot x$ werden wir im Kapitel zur „Bernoulli-Ungleichung“ beweisen.

Eigenschaften der Kleiner-Relation

Translationsinvarianz

Translationsinvarianz der Kleiner-Relation.

Inverses und Kleiner-Relation

Kleiner-Relation und Inversenbildung

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