Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/Das Dynkin-System

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Motivation

In der Maßtheorie wollen wir Mengen ein Maß zuordnen. Bei Teilmengen aus $ℝ$ sind dies Längen, bei Teilmengen aus ${ℝ}^2$ Flächen, bei Teilmengen aus ${ℝ}^3$ Volumina und bei Teilmengen aus ${ℝ}^p$ mit $p\ge 4$ verallgemeinerte Volumina. Dabei ordnen wir nur gewissen „guten“ Mengen ein Maß zu: das sind jene Mengen die wir durch Intervalle oder Rechtecke oder Quader "gut" überdecken können.

Wo stehen wir

Zuerst haben wir nur sehr primitive geometrische Figuren, wie Intervalle, Rechtecke oder (verallgemeinerte) Quader betrachtet und deren Eigenschaften zum Halbring verallgemeinert (mit $A,B\in H$ sind auch $\mathrm{\varnothing },A\cap B\in H$ und $A\mathrm{\setminus }B$ ist endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus $H$). Danach haben wir endliche disjunkte Vereinigungen von Halbringelementen eingeführt und zum Ring erklärt (mit $A,B\in R$ sind auch $\mathrm{\varnothing },A\cup B,A\mathrm{\setminus }B\in R$). Daraufhin haben wir unsere Flächenfunktion verallgemeinert zu einem additiven Inhalt bzw. sigma-additiven Prämaß, zuerst auf dem Halbring, dann auf dem Ring und deren Eigenschaften untersucht. Wir haben uns das System der "guten" Mengen definiert als Sigma-Algebra (dort gilt mit $A_n\in S$ sind auch $\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n,A_n^C,\mathrm{\varnothing }\in S$) und sigma-additive Maße darauf betrachtet. Als beweistechnisches Hilfsmittel haben wir äußere Maße definiert und gezeigt, dass zu diesem eine Sigma-Algebra der "allgemein guten Mengen" existiert, sodass das äußere Maß auf der Sigma-Algebra ein Maß wird. Es stellte sich heraus, dass die von dem Halbring erzeugte Borelsche Sigma-Algebra in der zu dem äußeren Maß gehörigen Sigma-Algebra enthalten ist und das erhaltene Maß eine Fortsetzung des Prämaßes ist. Damit ist die Existenz der Maßfortsetzung gezeigt. Nun interessiert uns die Eindeutigkeit. dafür benötigen wir ein beweistechnisches Hilfsmittel, ein Mengensystem das der Sigma-Algebra ähnlich ist und optimal an Maße angepasst ist. Dieses heißt Dynkinsystem.

Zur Übersicht der Maßheorie-Herleitung geht es hier Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Allgemeine_Konstruktion_eines_Maßes

Definition des Dynkinsystems

Im Kapitel über Eigenschaften von Inhalten und Prämaßen hatten wir in den Beweisen jeweils disjunkte Vereinigungen konstruiert, um die (Sigma-)Additivität von $m$ benutzen zu können. Jetzt betrachten wir ein Mengensystem, das automatisch nur disjunkte abzählbare Vereinigungen enthält, sodass die Sigma-Additivität der Flächenfunktion direkt anwendbar wird.

Aufgabe 1: Alle Dynkinsysteme über $\{0,1,2,3\}$

Wir wollen alle Dynkinsysteme über der Menge $\{0,1,2,3\}$ bestimmen. Das geht ganz analog wie bei den Sigma-Algebren, siehe Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/Die_Sigma-Algebra WIr erhalten nur drei neue Dynkinsysteme, der Rest der Dynkinsysteme sind die bekannten Sigma-Algebren. Aber man sieht an dieser Aufgabe den Unterschied zwischen beiden Mengensystemen in der Konstruktion und im Ergebnis.

Der Schnitt von Dynkinsystemen

Erneut suchen wir das kleinste Dynkinsystem, dazu benötigen wir wieder den folgenden Satz.

Durchschnittsstabilität

Das Dynkinsystem ist angepasst an die sigma-additiven Funktionen. Es stellt aber eine starke Einschränkung dar, nur disjunkte Vereinigungen zuzulassen. Gilt aber zudem die Eigenschaft, dass Schnitte wieder im Dynkinsystem sind können wir ausrechnen, dass auch beliebige, nicht-disjunkte Vereinigungen im Dynkinsystem sind. Dieses ist dann eine Sigma-Algebra. Deshalb führen wir den folgenden Begriff ein:

Das Dynkinsystem mit durchschnittstabilem Erzeugendensytem

Es genügt sogar zu fordern, dass nur das Erzeugendensystem durchschnittsstabil ist, um aus dem Dynkinsystem eine Sigma-Algebra zu machen! Und unser später betrachtetes Erzeugendensytsem eines Ringes ist durchschnittsstabil.

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