Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/Die Sigma-Algebra

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Motivation

In der Maßtheorie wollen wir Mengen ein Maß zuordnen. Bei Teilmengen aus $ℝ$ sind dies Längen, bei Teilmengen aus ${ℝ}^2$ Flächen, bei Teilmengen aus ${ℝ}^3$ Volumina und bei Teilmengen aus ${ℝ}^p$ mit $p\ge 4$ verallgemeinerte Volumina. Dabei ordnen wir nur gewissen „guten“ Mengen ein Maß zu: das sind jene Mengen die wir durch Intervalle oder Rechtecke oder Quader "gut" überdecken können.

Wo stehen wir

Zuerst haben wir nur sehr primitive geometrische Figuren, wie Intervalle, Rechtecke oder (verallgemeinerte) Quader betrachtet und deren Eigenschaften zum Halbring verallgemeinert (mit $A,B\in H$ sind auch $\mathrm{\varnothing },A\cap B\in H$ und $A\mathrm{\setminus }B$ ist endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus $H$). Danach haben wir endliche disjunkte Vereinigungen von Halbringelementen eingeführt und zum Ring erklärt (mit $A,B\in R$ sind auch $\mathrm{\varnothing },A\cup B,A\mathrm{\setminus }B\in R$). Daraufhin haben wir unsere Flächenfunktion verallgemeinert zu einem additiven Inhalt bzw. sigma-additiven Prämaß, zuerst auf dem Halbring, dann auf dem Ring und deren Eigenschaften untersucht. Wir haben dann bewiesen, dass unsere Flächen-/Volumenfunktion ein Prämaß ist. Jetzt betrachten wir die "guten" Mengen, denen die Maßfunktion eindeutig eine Fläche oder ein Volumen zuordnen kann.

Zur Übersicht der Maßheorie-Herleitung geht es hier Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Allgemeine_Konstruktion_eines_Maßes

Die Sigma-Algebra der "guten" Mengen

In diesem Kapitel definieren wir Sigma-Algebren, das sind die Mengensysteme der "guten" Mengen, denen die Flächenfunktion eindeutig eine Fläche zuordnen kann. Solche Mengen lassen sich durch abzählbar viele Intervalle oder Rechtecke "gut" und "minimal" überdecken.

Die Grundmenge und die leere Mengen sollen "gute" Mengen sein. Auch das Komplement einer "guten" Menge soll wieder eine "gute" Menge sein. Haben wir abzählbar viele "gute" Mengen $A_n$ gegeben, so soll ihre abzählbare Vereinigung $\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n$ wieder eine "gute" Menge sein Diese Forderungen erscheinen nicht schwierig. Leider sind Sigma-Algebren so umfangreich, dass man sie sich nicht bildlich vorstellen kann, wie wir es bei Halbringen und Ringen konnten. Um dennoch verschiedene Sichtweisen auf Sigma-Algebren zu gewinnen, schauen wir uns in diesem und im nächsten Kapitel mehrere längere Übungsaufgaben an, die Studierenden am Anfang nicht leicht fallen.

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition Wir hatten für Halbringe die ANschauung als Intervalle, Rechtecke oder (verallgemeinerte) Quader und für Ringe als eine Anschauung deren endliche disjunkte Vereinigung. Für Sigma-Algebren gibt es keine analoge Anschauung: die von den Rechtecken erzeugte Sigma-Algebra ist viel größer als der Ring $F^2$, sie umfasst zum Beispiel Kreise und unendlich große Mengen. Drei Eigenschaften von Sigma-Algebren lassen sich ganz leicht beweisen:

Aufgabe 1: Alle Sigma-Algebren über $\{0,1,2,3\}$

Wir wollen alle Sigma-Algebren über der Menge $\{0,1,2,3\}$ bestimmen. Zum einen gewinnt man dadurch viele Beispiele, die wir in späteren Kapiteln z.B: bei der Messbarkeit benötigen. Zum anderen gewinnen wir ein Rechenschema, wie einfache Sigma-Algebren zugänglich sind. Gleichzeitig ist am Ende der Aufgabe klar, wie umfangreich und vielfältig Sigma-Algebren gewählt werden können.

Aufgabe 3: Besondere Mengen in Sigma-Algebren

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