MathGymOS/ LGS/ Mehr Gleichungen als Unbekannte

Lineare Gleichungssysteme mit mehr Gleichungen als Unbekannten

Ein lineares Gleichungssystem kann auch mehr Gleichungen als Unbekannte enthalten. Ein solches Gleichungssystem kann zum Beispiel wie folgt aussehen:

\begin{matrix} a_{1} \cdot x_{1} & + & b_{1} \cdot x_{2} & = & e_{1} \\ a_{2} \cdot x_{1} & + & b_{2} \cdot x_{2} & = & e_{2} \\ a_{3} \cdot x_{1} & + & b_{3} \cdot x_{2} & = & e_{3} \end{matrix}

oder etwas kürzer geschrieben:

[\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & e_{1} \\ a_{2} & b_{2} & e_{2} \\ a_{3} & b_{3} & e_{3} \end{matrix}]

Der Gauß-Algorithmus führt hier zu einer besonderen Stufenform:

[\begin{matrix} m_{1} & n_{1} & l_{1} \\ 0 & n_{2} & l_{2} \\ 0 & 0 & l_{3} \end{matrix}]

Es ist sofort einsichtig, dass dieses Gleichungssystem nur dann eine Chance auf eine Lösung hat, wenn $l_{3}$ Null ist. Denn ansonsten wäre die letzte Zeile gleichbedeutend mit $0 = 0 \cdot x_{2} = l_{3} \neq 0$ , was natürlich eine falsche Aussage ist. Wenn aber $l_{3} = 0$ gilt, dann liefert die unterste Zeile $0 = 0$ keine für die Lösung des Gleichungssystems relevante Information, kann also weg gelassen werden:

[\begin{matrix} m_{1} & n_{1} & l_{1} \\ 0 & n_{2} & l_{2} \end{matrix}]

Für die Lösbarkeit gelten dann genau die alten Regeln, wie sie schon beim Gauß-Algorithmus beschrieben wurden. Zusammengefasst lässt sich also sagen: MathGymOSVorlage/ Regel

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Geht das auch mit dem Determinanten-Verfahren?

Damit das ganz klar ist: eine Determinante ist nur für eine quadratische Koeffizientenmatrix definiert. Man kann sich aber statt des obigen Gleichungssystems ein leicht verändertes System anschauen:

\begin{matrix} a_{1} \cdot x_{1} & + & b_{1} \cdot x_{2} & + & 0 \cdot x_{3} & = & e_{1} \\ a_{2} \cdot x_{1} & + & b_{2} \cdot x_{2} & + & 0 \cdot x_{3} & = & e_{2} \\ a_{3} \cdot x_{1} & + & b_{3} \cdot x_{2} & + & 0 \cdot x_{3} & = & e_{3} \end{matrix}

Achtung! Das ist nicht das selbe Gleichungssystem. Dieses neue Gleichungssystem hat nämlich, wenn es eine Lösung hat, gleich unendlich viele Lösungen, da man ja für $x_{3}$ jeden beliebigen Wert einsetzten kann. Trotzdem kann es uns weiter helfen, denn wenn es eine Lösung $(x_{1} | x_{2} | x_{3})$ zu diesem modifizierten Gleichungssystem gibt, dann ist $(x_{1} | x_{2})$ eine Lösung des ursprünglichen Gleichungssystems. Und auch umgekehrt gilt, wenn $(x_{1} | x_{2})$ eine Lösung des ursprünglichen Gleichungssystems ist, dann löst $(x_{1} | x_{2} | x_{3})$ für jedes beliebige $x_{3}$ das neue Gleichungssystem.

Die Koeffizientenmatrix des neu gewonnen Gleichungssystems sieht so aus: $A = (\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & 0 \\ a_{2} & b_{2} & 0 \\ a_{3} & b_{3} & 0 \end{matrix})$ .

Für das Determinante-Verfahren benötigt man darüber hinaus die Matrizen:

A_{1} = (\begin{matrix} e_{1} & b_{1} & 0 \\ e_{2} & b_{2} & 0 \\ e_{3} & b_{3} & 0 \end{matrix})

,

A_{2} = (\begin{matrix} a_{1} & e_{1} & 0 \\ a_{2} & e_{2} & 0 \\ a_{3} & e_{3} & 0 \end{matrix})

und

A_{3} = (\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & e_{1} \\ a_{2} & b_{2} & e_{2} \\ a_{3} & b_{3} & e_{3} \end{matrix})

.

Es lässt sich relativ leicht nachrechnen, dass $\det (A) = \det (A_{1}) = \det (A_{2}) = 0$ gilt. Es hängt also alles an der Matrix $A_{3}$ . Nach der Cramerschen Regel gilt: Ist auch $\det (A_{3}) = 0$ , so hat das modifizierte Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Dann hat auch das ursprüngliche System mindestens eine Lösung. Ist dagegen allerdings $\det (A_{3}) \neq 0$ , dann hat das modifizierte Gleichungssystem keine Lösung, weshalb in diesem Fall auch das ursprüngliche System keine Lösung haben kann.

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Geht das auch mit dem Determinanten-Verfahren?

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