MathGymOS/ LGS/ Der Gauß-Algorithmus

(Teilweise aus: Gaußsches Eliminationsverfahren (Wikipedia).)

Ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen bzw. Unbekannten $(x_1,x_2,x_3)$ und den jeweiligen Koeffizienten $a_i,b_i,c_i,e_i(i=1,\dots ,3)$ hat die Form:

$\begin{array}{cccccccc}(1)& a_1\cdot x_1& +& b_1\cdot x_2& +& c_1\cdot x_3& =& e_1\\ (2)& a_2\cdot x_1& +& b_2\cdot x_2& +& c_2\cdot x_3& =& e_2\\ (3)& a_3\cdot x_1& +& b_3\cdot x_2& +& c_3\cdot x_3& =& e_3\end{array}$

Es werden schematisch nur die Koeffizienten (a, b, c, e) geschrieben:

$\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& b_1& c_1& e_1\\ a_2& b_2& c_2& e_2\\ a_3& b_3& c_3& e_3\end{array}\right]$

Der Algorithmus zur Berechnung der Variablen x, y und z lässt sich in zwei Etappen einteilen:

1. Vorwärtselimination
2. Rückwärtseinsetzen (Rücksubstitution)

Im ersten Schritt wird das Gleichungssystem durch Äquivalenzumformungen, bei denen die Informationen des Gleichungssystems nicht geändert werden, in die Stufenform gebracht. Stufenform heißt, dass pro Zeile mindestens eine Variable weniger auftritt, also mindestens eine Variable eliminiert wird, indem die Zeile so umgeformt wird, dass der Koeffizient der Variablen Null ist. Im obigen Beispiel würde man $a_2$, $a_3$ und $b_3$ eliminieren.

$\left[\begin{array}{cccc}{m}_1& n_1& k_1& l_1\\ 0& n_2& k_2& l_2\\ 0& 0& k_3& l_3\end{array}\right]$

Zum Erreichen der Stufenform sind drei Umformungen zulässig:

1. Es können (komplette) Zeilen vertauscht werden.
2. Eine Zeile kann mit einer von Null verschiedenen Zahl multipliziert werden.
3. Es darf, wie beim Additionsverfahren, eine Zeile oder das Vielfache einer Zeile zu einer anderen Zeile addiert werden.

Im zweiten Schritt werden ausgehend von der letzten Zeile, in der sich nur noch eine Variable befindet, die Variablen ausgerechnet und in die darüberliegende Zeile eingesetzt.

MathGymOSVorlage/ Regel

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