MathGymOS/ LGS/ Matrizen-Invertierung

Gegeben sei folgendes Gleichungssystem:

$\begin{array}{ccccc}5\cdot x_1& +& 3\cdot x_2& =& 5\\ 3\cdot x_1& +& 1\cdot x_2& =& -1\end{array}$

Mit der Koeffizientenmatrix $A=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 1\end{array}\right)$ und dem Ergebnisvektor $\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}5\\ -1\end{array}\right)$ lässt sich das Gleichungssystem schreiben als:

$\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 3& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ -1\end{array}\right)$

Die inverse Matrix zu $A$ ist $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-1/4& 3/4\\ 3/4& -5/4\end{array}\right)$.

Es gilt

$\begin{array}{cccc}& A\cdot \overrightarrow{x}& =& \overrightarrow{b}\\ \iff & \underset{=I}{\underbrace{A^{-1}\cdot A}}\cdot \overrightarrow{x}& =& A^{-1}\cdot \overrightarrow{b}\\ \iff & I\cdot \overrightarrow{x}& =& A^{-1}\cdot \overrightarrow{b}\\ \iff & \overrightarrow{x}& =& A^{-1}\cdot \overrightarrow{b}\end{array}$

Also ist

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1/4& 3/4\\ 3/4& -5/4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}5\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-5/4-3/4\\ 15/4+5/4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\end{array}\right)$

Die Lösungen lauten also $x_1=-2$ und $x_2=5$.