MathGymOS/ LGS/ Das Additionsverfahren

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(Aus: Additionsverfahren, 7. Januar 2007 (Wikipedia).)

Gegeben sei folgendes Gleichungssystem:

(1)5⋅x1+3⋅x2=5(2)3⋅x1+1⋅x2=−1

Durch Addition der beiden Gleichungen soll eine Variable eliminiert werden. Daher muss eine der beiden Gleichungen umgeformt werden. Exemplarisch wird dies hier mit der zweiten Gleichung durchgeführt, damit x2 bei der Addition eliminiert wird:

(1)5⋅x1+3⋅x2=5(2)3⋅x1+1⋅x2=−1|⋅(−3)

Dies führt zu folgendem modifiziertem, aber immer noch gleichwertigem, Gleichungssystem:

(1)5⋅x1+3⋅x2=5(2)−9⋅x1−3⋅x2=3

Nun werden beide Gleichungen des Systems addiert und somit in eine Gleichung zusammengefasst:

(5⋅x1+3⋅x2)+(−9⋅x1−3⋅x2)=5+35⋅x1−9⋅x1+3⋅x2−3⋅x2=8−4⋅x1+0⋅x2=8−4⋅x1=8

Anschließend wird nach der verbliebenen Variablen x1 aufgelöst:

−4⋅x1=8|:(−4)x1=−2

Der Wert für die erste Variable ist also gefunden, durch Einsetzen des Ergebnisses in eine der Ausgangsgleichungen und Umstellen nach der übrig gebliebenen Unbekannten erhält man den zweiten gesuchten Wert.

Wir setzen x1=−2 in die erste Gleichung (1) ein:

(1)5⋅x1+3⋅x2=5−10+3⋅x2=5|+103⋅x2=15|:3x2=5

Die Lösungen lauten also x1=−2 und x2=5.

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