MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Vektoren/ Definition

Einführung

Ganz allgemein formuliert ist ein Vektor (im folgenden immer durch einen kleinen Buchstaben oder durch zwei Großbuchstaben mit einem darüber liegenden Pfeil gekennzeichnet, s.u.) ein Element eines Vektorraumes. Die Eigenschaften eines Vektorraumes, wie sie für Interessierte hier beschrieben sind, werden von den unterschiedlichsten mathematischen Objekten erfüllt. Drei sehr wesentlich Eigenschaften der für uns interessanten reellen Vektorräume sind dabei,

• dass es eine Multiplikation einer reellen Zahl mit einem Vektor, also z.B. $5,2\cdot \overrightarrow{v}$ gibt,
• dass es eine Addition von Vektoren $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ gibt und
• dass es eine Menge von Vektoren gibt z.B. $\{{\overrightarrow{b}}_1,{\overrightarrow{b}}_2,{\overrightarrow{b}}_3\}$ eine sogenannte Basis, bezüglich derer sich alle anderen Vektoren in eindeutiger Weise durch Addition von Vielfachen der Basisvektoren darstellen lassen, wie z.B. $\overrightarrow{v}=v_1\cdot {\overrightarrow{b}}_1+v_2\cdot {\overrightarrow{b}}_2+v_3\cdot {\overrightarrow{b}}_3$.

Die Faktoren, mit denen die Basisvektoren multipliziert werden müssen nennt man die Koordinaten des Vektors oder auch seine Komponenten. Diese Koordinaten werden meistens als vertikales Tupel in der Form $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ v_3\end{array}\right)$ aufgeschrieben.

Vektoren in der Geometrie

In der Geometrie werden Vektoren als Verschiebungen von Punkten in einem Koordinatensystem interpretiert. Wird beispielsweise der Punkt $P(-1|2)$ in der Abbildung in den Punkt $P^{\prime }(2|7)$ verschoben, also 3 Einheiten in Richtung der 1. Koordinaten-Achse und 5 Einheiten in Richtung der 2. Koordinatenachse-Achse, dann wird diese Verschiebung durch den Vektor $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right)$ beschrieben.

Wie in der Abbildung wird ein Vektor häufig durch einen Pfeil symbolisch dargestellt. Dieselbe Verschiebung, die oben den Punkt $P$ in den Punkt $P^{\prime }$ verschiebt, verschiebt auch den Punkt $Q(2|-4)$ in den Punkt $Q^{\prime }(5|1)$. Der beiden Pfeile in der Abbildung gehören also zur selben Verschiebung und somit zum selben Vektor. Ein Vektor ist also nicht ein einzelner Pfeil, sondern es gilt: MathGymOSVorlage/ Definition

Bezeichnung

In diesem Buch werden alle Variablen, die für einen Vektor stehen, durch einen vertikalen Pfeil über dem Variablennamen gekennzeichnet. Die Variablennamen sind in der Regel kleine lateinische Buchstaben, z.B. $\overrightarrow{v}$. Soll besonders gekennzeichnet werden, dass ein Vektor die Verschiebung eines Punktes in einen zweiten Punkt beschreibt, z.B. die Verschiebung des Punktes P in den Punkt Q, so kann der Variablenname auch aus den Bezeichnungen der beiden Punkte bestehen; im Beispiel $\overrightarrow{PQ}$.

In der Literatur sind auch andere Schreibweisen zur Bezeichnung von Vektoren anzutreffen, wie der Fettdruck $𝐯$ bzw. $𝐏𝐐$ (vor allem Bücher zu fortgeschrittenen Themen der Mathematik und Wikipedia) oder die Unterstreichung $\underset{\_}{v}$ bzw. $\underset{\_}{PQ}$ (vor allem angelsächsische Literatur und Bücher zur theoretischen Physik). In älterer Literatur werden gelegentlich auch Frakturbuchstaben verwendet $𝔳$ bzw. $𝔓𝔔$.

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Anwendung der Vektorrechnung

In Physik und Technik stehen vektorielle Größen die neben einem Betrag, auch eine Richtung und eine Orientierung besitzen (z.B. Geschwindigkeit, Impuls, Kraft, Moment, Beschleunigung) sogenannten skalaren Größen gegenüber, die zwar einen Betrag, aber keine Richtung und keine Orientierung haben (z.B. Abstand, Energie, Zeit, Temperatur, Ladung, Leistung, Arbeit, Masse). Der Betrag einer vektoriellen Größe entspricht dann der oben aufgeführten Länge der Pfeile die in der Pfeilklasse des Vektors zusammengefasst werden. Deshalb wird statt des Ausdrucks "Länge eines Vektors" der Ausdruck "Betrag eines Vektors" verwendet.

In vielen Bereichen der Wirtschaftsmathematik wird jedes Tupel $\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right)$ als Vektor bezeichnet. Die geometrische Interpretation als Verschiebung macht hier jedoch häufig keinen Sinn. Vielmehr werden Vektoren hier als Spezialfall der Matrizen, nämlich als Matrizen mit nur einer Spalte betrachtet.

Betrag eines Vektors

Der Betrag eines Vektors soll der Länge der Pfeile entsprechen, die als gemeinsame Pfeilklasse den Vektor bilden. In einem kartesischen Koordinatensystem (d.h. im Wesentlichen bei rechtwinkligen Koordinatenachsen) gilt nach dem Satz des Pythagoras: MathGymOSVorlage/ Definition

Mit der Einführung des Skalarproduktes lässt sich ein allgemeinerer Begriff der Norm eines Vektors einführen, der aber im Falle des sogenannten kanonischen Skalarproduktes gerade dem oben beschriebenen Betrag eines Vektors entspricht

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