Analytische Geometrie/ Weiterführende Themen

Vektorräume

Bei Verknüpfungen, die als Addition oder Multiplikation bezeichnet werden, wird häufig die sogenannten Infix-Notation verwendet. Hierbei wird das Symbol der Verknüpfung zwischen die beiden zu verknüpfenden Elemente geschrieben anstatt davor, wie z.B. $a+b$ statt $+(a,b)$.

Beachte: Sowohl ein Erzeugendensystem, als auch eine Basis können unendlich viele Vektoren enthalten. In letzterem Fall schreibt man $\dim V=\mathrm{\infty }$.

Ist V ein n-dimensionaler Vektorraum über K und $B=\{{\overrightarrow{b}}_1,\dots ,{\overrightarrow{b}}_n\}$ eine Basis von V, dann lässt sich jeder Vektor aus V als Linearkombination der Basisvektoren darstellen.

$\overrightarrow{w}=k_1\cdot {\overrightarrow{b}}_1+\dots +k_n\cdot {\overrightarrow{b}}_n(k_1\dots ,k_n\in K)$

Ist die Basis auf irgendeine Weise geordnet, z.B. nach den Indizes der Basisvektoren, dann bezeichnet man das entsprechende n-Tupel aus den Koeffizienten $(k_1,\dots ,k_n)$ oder auch $\left(\begin{array}{c}{k}_1\\ ⋮\\ k_n\end{array}\right)$ als Koordinaten von $\overrightarrow{w}$ (bezüglich B).

Analytische Geometrie/ Vorlage:Definition Statt $\phi (\overrightarrow{v},P)$ schreibt man auch $P+\overrightarrow{v}$. Der durch $P,Q\in \mathbb{P}$ eindeutig bestimmte Vektor $\overrightarrow{v}\in V$ mit $\phi (\overrightarrow{v},P)=Q$ wird häufig als $\overrightarrow{PQ}$ bezeichnet. Analytische Geometrie/ Vorlage:Beispiele

Analytische Geometrie/ Vorlage:Definition Ist aus dem Zusammenhang die Unterscheidung zwischen der Multiplikation mit Skalaren $\cdot$ und dem Skalarprodukt $\bullet$ klar, so kann man auch das Symbol $\cdot$ statt des Symbols $\bullet$ für das Skalarprodukt verwenden.