MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Vektoren/ Addition

Der Nullvektor

In der Definition eines Vektors werden Vektoren als Klasse von Pfeilen gleicher Länge, gleicher Richtung und gleicher Orientierung bezeichnet. Das ist nicht ganz korrekt, denn es ist sinnvoll auch die Verschiebung zuzulassen, die einen jeden Punkt in sich selbst verschiebt. Dieser Verschiebung lässt sich aber kein Pfeil in sinnvoller Weise zuordnen, denn der entsprechende Pfeil hätte die Länge Null und weder Orientierung noch Richtung. Ähnlich wie die Null der reellen Zahlen hat dieser Nullvektor eine gewisse Sonderstellung. In Koordinaten lässt er sich jedoch wie alle anderen Vektoren auch aufschreiben. Es gilt:

MathGymOSVorlage/ Definition

Die Vektoraddition

Schauen wir uns noch einmal das Beispiel aus der Einführung des Vektorbegriffs an: Dort wurde der Vektor betrachtet, der den Punkt $P(-1|2)$ in den Punkt $P^{\prime }(2|7)$ verschiebt, also $\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right)$ beschrieben.

Ein anderer Vektor $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}3\\ -6\end{array}\right)$ beschreibt dagegen die Verschiebung des Punktes $P^{\prime }$ in den Punkt $Q^{\prime }(5|1)$. Die Hintereinanderausführung der beiden Verschiebungen, erst $\overrightarrow{v}$ und dann $\overrightarrow{u}$ wird als Vektoraddition bezeichnet. Im Beispiel gilt:

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}3\\ -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3+3\\ 5+(-6)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ -1\end{array}\right)$

Allgemein wird definiert MathGymOSVorlage/ Definition

Aus der Abbildung ist sofort ersichtlich, dass die Hintereinanderausführung zweier Verschiebungen nicht von der Reihenfolge der beteiligten Verschiebungen abhängt, oder in der neuen Schreibweise: $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$. Auch andere Regeln lassen sich gut anschaulich nachvollziehen.

MathGymOSVorlage/ Regel Wegen der Assoziativität kann bei der Vektoraddition auf die Klammern verzichtet werden: $\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{v})=\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$.

MathGymOSVorlage/ Beispiele

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