Ing Mathematik: Wichtige Funktionen

Exponentialfunktionen

Es sei $a>0$, sowie $n\in \mathbb{N}$. Dann ist

$a^n=\underset{nmal}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$

a nennt man Basis und n den Exponenten der Potenz $a^n$ (Exponentialfunktion zur Basis a). Es gilt auch, daß $a^n$ für jedes $0<a<\mathrm{\infty }$ und $n\in ℝ$ definiert ist.

Eine Exponentialfunktion ist stetig und für $a>1$ monoton steigend, für $0<a<1$ monoton fallend.

Rechenregeln

• $a^0=1$
• $a^1=a$
• $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
• $r=\frac{p}{q}:a^r=\sqrt[q]{a^p}$
• $a^{n+m}=a^n\cdot a^m$
• $a^{n-m}=\frac{a^n}{a^m}$
• $a^{n\cdot m}=(a^n{)}^m$
• $a^n\cdot b^n=(a\cdot b{)}^n$

Natürliche Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion zur Basis e (e = 2,718..., Eulersche Zahl) kann für alle $z\in ℂ$ folgendermaßen definiert werden

• $e^z=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^i}{i!}$

oder

• $e^z=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{z}{n})}^n$

Beispiele aus der Physik und Technik

• Radioaktiver Zerfallsprozess
• Barometrische Höhenformel: $p(h_1)=p(h_0){\mathrm{e}}^{-\frac{Mg}{RT}\mathrm{\Delta }h}$
• Lade-/Entladevorgang beim Kondensator: $u_{\text{C}}(t)=U_0+(U_{\text{C},t_0}-U_0)\cdot e^{-\frac{t}{\tau }}$

Logarithmen

Den Logarithmus zur Basis a schreibt man ${\log }_{a}x$. Manchmal ist das auch in dieser Schreibweise ${}_a\log x$ zu sehen.

Logarithmen sind Umkehrfunktionen zu den Exponentialfunktionen.

$y=a^x$

$x={\log }_{a}y$

Rechenregeln

• $a^{{\log }_{a}x}=x$
• ${\log }_a\left(a^x\right)=x$
• ${\log }_a\left(1\right)=0$
• ${\log }_a\left(a\right)=1$
• ${\log }_a\left(xy\right)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$
• ${\log }_a\left(\frac{x}{y}\right)={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$
• ${\log }_a\left(\frac{1}{x}\right)=-{\log }_{a}x$
• ${\log }_a\left(x^y\right)=y{\log }_{a}x$
• $\frac{{\log }_{a}x}{{\log }_{a}y}=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}y}$

Wichtige Basen

Basis 2

Zweierlogarithmus, Duallogarithmus oder binärer Logarithmus

${\log }_{2}x=\text{lb}x$

oder

${\log }_{2}x=\text{ld}x$

Basis 10

Zehnerlogarithmus, dekadischer Logarithmus oder Briggscher Logarithmus

${\log }_{10}x=\lg x$

Basis e

natürlicher Logarithmus, Logarithmus naturalis

${\log }_{e}x=\ln x$

oder

${\log }_{e}x=\log x$

Umrechnung zwischen verschiedenen Basen

$x=a^{{\log }_{a}x}=b^{{\log }_{b}x}$

$b=a^{{\log }_{a}b}$

eingesetzt

$a^{{\log }_{a}x}=a^{{\log }_a{b}^{{\log }_{b}x}}=a^{{\log }_{b}x\cdot {\log }_{a}b}$

daraus folgt, dass

${\log }_{a}x={\log }_{b}x\cdot {\log }_{a}b$

sein muss.

Alternativ kann man diese Beziehung auch aus der Rechenregel

$\frac{{\log }_{a}x}{{\log }_{a}y}=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}y}$

ableiten.

$\frac{{\log }_{a}x}{{\log }_{a}b}=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}b}$

${\log }_{a}x={\log }_{b}x\cdot {\log }_{a}b$

Beispiele

• 
  Funktionen auf doppeltlogarithmischem Papier
• 
  Prinzip des Rechenschiebers, $2\cdot 3=6$
• 
  Schalldruckpegel-Messgerät, $L_{\mathrm{p}}=20\lg \left(\frac{\tilde{p}}{p_0}\right)\mathrm{d}\mathrm{B}$

Trigonometrische Funktionen (Winkel-, Kreisfunktionen)

Das Bogenmaß

Das Bogenmaß ist definiert als dimensionslose Größe

$\varphi =\frac{s}{r}$

Bekannt ist der Umfang eines Kreises

$U=2\pi r={\varphi }_V\cdot r$.

Somit gilt für den Vollkreis

${\varphi }_V=2\pi$

Genauso wird das Bogenmaß definiert. 360° entsprechen $2\pi$ im Bogenmaß. Das Bogenmaß ist eigentlich dimensionslos, wird aber oft mit der Einheit Radiant [rad] versehen.

Winkel in [°]	Bogenmaß in [1] oder in [rad]
1	$\frac{2\pi }{360}=\frac{\pi }{180}$
45	$\frac{\pi }{4}$
~57,3	1
90	$\frac{\pi }{2}$
180	$\pi$
360	$2\pi$

Umrechnung von Graden in das Bogenmaß:

$\varphi =\frac{\pi }{180}\phi$

mit $\varphi$ in [rad] und $\phi$ in [°].

Sind Kreisbogenlänge und Radius gleich lang, dann wird $\varphi =1$. Am Einheitskreis entspricht das Bogenmaß der Kreisbogenlänge.

Die trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis Vorlage:Anker

Sinus und Cosinus

sin x ist eine schiefsymmetrische Funktion, während cos x eine symmetrische Funktion repräsentiert, d.h.

• $\sin (-x)=-\sin x$
• $\cos (-x)=\cos x$

Sinus und Kosinus (statt Cosinus wird häufig auch Kosinus geschrieben) sind periodische Funktionen, es gilt:

• $\sin (x+2k\pi )=\sin x$
• $\cos (x+2k\pi )=\cos x$

Des Weiteren gilt:

• $\cos (x)=\sin (x-\frac{\pi }{2})$

Definition:

• $\sin x=\mathrm{\Im }\left(e^{ix}\right)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
• $\cos x=\mathrm{\Re }\left(e^{ix}\right)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

Daraus folgt unmittelbar die Eulerformel:

$e^{ix}=\mathrm{\Re }\left(e^{ix}\right)+\mathrm{\Im }\left(e^{ix}\right)=\cos x+i\sin x$

Direkt aus den Verhältnissen am Einheitskreis läßt sich mittels des Satzes von Pythagoras die Beziehung

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

ableiten.

Alternativ muss sich natürlich auch aus der obigen Definition selbiges Ergebnis ableiten lassen:

$e^{ix}{e}^{-ix}=e^{ix-ix}=1$

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$ $e^{-ix}=\cos x-i\sin x$

$e^{ix}{e}^{-ix}={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

Am Einheitskreis läßt sich auch leicht erkennen, dass

• $|\sin x|\le 1$
• $|\cos x|\le 1$

sein muss.

Additionstheoreme

• $\sin (x\pm y)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y$
• $\cos (x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y$
• $\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$
• $\cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$
• $\sin x-\sin y=2\cos \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}$
• $\cos x-\cos y=-2\sin \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}$

Übung: Leiten Sie die Additionstheoreme her.

Ein Beispiel aus der Technik (Schwingungen):

Tangens und Cotangens

• 
  Tangens
• 
  Cotangens

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{1}{\cot x}$

$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{1}{\tan x}$

Beispiel für den Tangens (Steigung):

Umkehrfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen

Hauptwerte der Arkusfunktionen:

• 
  Arkussinus und Arkuskosinus
• 
  Arkustangens und Arkuskotangens

Hyperbel- und Areafunktionen

Sinus hyperbolicus (oder Hyperbelsinus), Kosinus hyperbolicus (oder Hyperbelkosinus), Tangens hyperbolicus (oder Hyperbeltangens):

• 
• 

$\sinh (x):=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$

$\cosh (x):=\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}$

$\tanh (x)=\frac{\sinh (x)}{\cosh (x)}=\frac{{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^y}{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^y}$

Übungen: Leiten Sie

• $\sinh x+\cosh x=e^x$
• ${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$
• $\cosh (x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y$
• $\sinh (x+y)=\cosh x\sinh y+\sinh x\cosh y$

her.

Die Areafunktionen sind die Umkehrfunktionen zu den Hyperbelfunktionen.

• 
  Areasinus hyperbolicus
• 
  Areakosinus hyperbolicus
• 
  Areatangens hyperbolicus

$\mathrm{arsinh}(x)=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$

$\mathrm{arcosh}(x)=\pm \ln (x+\sqrt{x^2-1}),x\ge 1$

$\mathrm{artanh}(x)=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x},|x|<1$

Übung: Leiten Sie die obigen Formeln (Area... hyperbolicus) her.

Polynome

Polynom n-ten Grades:

$P(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n,n\in {\mathbb{N}}_0,a_n\ne 0$

• 
  Polynome 1. Grades (Geraden $y=kx+d$)
• 
  Polynome 2. Grades (Normalparabeln $y=a{x}^2$)
• 
  Polynom 5. Grades

Rationale Funktionen

$f(x)=\frac{a_m{x}^m+a_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +a_{1}x+a_0}{b_n{x}^n+b_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +b_{1}x+b_0}=\frac{P_m(x)}{Q_n(x)}$

Parameterdarstellung

Ein Kreis lässt sich als $x^2+y^2=r^2$ darstellen. Eine andere Darstellungsweise geht vom Parameter $\varphi$ (Winkel) aus (der Radius r sei konstant):

$x=r\cos \varphi$

$y=r\sin \varphi$

mit $0\le \varphi \le 2\pi$

Dies nennt man die Parameterdarstellung des Kreises. Ein anderes Beispiel ist die archimedische Spirale:

$x=at\cos t$

$y=at\sin t$

mit $0\le t\le 6\pi ;a>0$.

Diese archimedische Spirale kann übrigens nicht in der Form $y=f(x)$ dargestellt werden.

Die Parameterdarstellung der Geraden wurde im Kapitel Ing_Mathematik:_Vektoren#Geraden bereits behandelt.

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