Aufgabe

Es sollen einige charakteristische Dreieckswerte berechnet werden. Der Programmanwender gibt die Koordinatenwerte (x, y) für die Dreieckseckpunkte P₁, P₂ und P₃ vor.

Das Programm berechnet u.a. folgende Werte und übermittelt diese an die Standardausgabe:

Längen der Dreiecksschenkel und Dreiecksumfang
Innenwinkel
Fläche
Umkreis (Mittelpunkt und Radius)
Inkreis (Mittelpunkt und Radius)
Schwerpunkt

Grundlagen

Die Dreiecksberechnung erfolgt in diesem Anwendungsbeispiel hauptsächlich mittels Vektorrechnung.

Näheres zu Dreiecken und zur Vektorrechnung ist folgenden Enzyklopädieartikeln und Büchern zu entnehmen:

Koordinatenwerte ---> Richtungsvektoren

$𝐚 = 𝐩_{3} - 𝐩_{1}$
$𝐛 = 𝐩_{2} - 𝐩_{1}$
$𝐜 = 𝐛 - 𝐚$

Seitenlängen und Umfang

$a_{n o r m} = | 𝐚 |$
$b_{n o r m} = | 𝐛 |$
$c_{n o r m} = | 𝐜 |$
$U = a_{n o r m} + b_{n o r m} + c_{n o r m}$

Bedingung: $a_{n o r m} \neq 0$ , $b_{n o r m} \neq 0$ , $c_{n o r m} \neq 0$

Winkel

$∠ a b = \arccos \frac{𝐚 \cdot 𝐛}{a_{n o r m} b_{n o r m}}$
$∠ b c = \arccos \frac{𝐛 \cdot 𝐜}{b_{n o r m} c_{n o r m}}$
$∠ a c = π - ∠ a b - ∠ b c$

Bedingung: $∠ a b \neq 0$ , $∠ a c \neq 0$ , $∠ b c \neq 0$

Fläche

Es gilt

$A_{P a r a l l e l o g r a m m} = | 𝐚 \times 𝐛 | = a_{n o r m} b_{n o r m} \sin ∠ a b$

und somit

$A = \frac{A_{p a r a l l e l o g r a m m}}{2} = \frac{a_{n o r m} b_{n o r m} \sin ∠ a b}{2}$

Umkreis

Normalen:

$𝐚 \cdot 𝐧 = 0$
$𝐛 \cdot 𝐦 = 0$
$| 𝐧 | = 1$
$| 𝐦 | = 1$

$\Rightarrow$

$n_{1} = - a_{2} \sqrt{\frac{1}{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}}$
$n_{2} = a_{1} \sqrt{\frac{1}{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}}$
$m_{1} = - b_{2} \sqrt{\frac{1}{b_{1}^{2} + b_{2}^{2}}}$
$m_{2} = b_{1} \sqrt{\frac{1}{b_{1}^{2} + b_{2}^{2}}}$

Geradenschnittpunkt:

$g 1 : 𝐱_{1} = \frac{𝐚}{2} + t_{1} 𝐧$
$g 2 : 𝐱_{2} = \frac{𝐛}{2} + t_{2} 𝐦$
Der Umkreismittelpunkt ergibt sich als Schnittpunkt dieser beiden Geraden: $𝐱 = 𝐱_{1} = 𝐱_{2}$

$\Rightarrow$

$t_{2} = \frac{n_{1} (a_{2} - b_{2}) + n_{2} (b_{1} - a_{1})}{2 (m_{2} n_{1} - m_{1} n_{2})}$

Bedingung: $m_{2} n_{1} - m_{1} n_{2} \neq 0$

Umkreismittelpunkt und -radius:

$𝐱_{o} = 𝐩_{1} + \frac{𝐛}{2} + t_{2} 𝐦$

$r_{o} = | \frac{𝐛}{2} + t_{2} 𝐦 |$

Inkreis

$𝐯 = \frac{1}{2} (\frac{𝐚}{a_{n o r m}} + \frac{𝐛}{b_{n o r m}})$

$𝐰 = \frac{1}{2} (\frac{𝐛}{b_{n o r m}} + \frac{𝐜}{c_{n o r m}})$

$g 1 : 𝐱_{1} = t_{1} 𝐯$

$g 2 : 𝐱_{2} = 𝐛 + t_{2} 𝐯$

Der Inkreismittelpunkt ergibt sich als Schnittpunkt dieser beiden Geraden: $𝐱 = 𝐱_{1} = 𝐱_{2}$

$\Rightarrow$

$t_{2} = \frac{b_{1} v_{2} - b_{2} v_{1}}{w_{2} v_{1} - w_{1} v_{2}}$

Bedingung: $w_{2} v_{1} - w_{1} v_{2} \neq 0$

Inkreismittelpunkt:

$𝐱_{i} = 𝐩_{2} + t_{2} 𝐰$

Inkreisradius:

$r_{i} = \frac{2 A}{a_{n o r m} + b_{n o r m} + c_{n o r m}}$

Schwerpunkt

$𝐯 = 𝐚 + \frac{𝐜}{2}$
$𝐰 = \frac{𝐛}{2} - 𝐚$

$g 1 : 𝐱_{1} = t_{1} 𝐯$
$g 2 : 𝐱_{2} = 𝐚 + t_{2} 𝐰$

Der Dreiecksschwerpunkt ergibt sich als Schnittpunkt dieser beiden Geraden: $𝐱 = 𝐱_{1} = 𝐱_{2}$

$t_{2} = \frac{a_{1} v_{2} - a_{2} v_{1}}{w_{2} v_{1} - w_{1} v_{2}}$

Bedingung: $w_{2} v_{1} - w_{1} v_{2} \neq 0$

$\Rightarrow$

$𝐱 = 𝐚 + t_{2} 𝐰$

$𝐱_{c o g} = 𝐩_{1} + 𝐱$

Fortran: Anhang B: Dreiecksberechnung

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe

Grundlagen

Koordinatenwerte ---> Richtungsvektoren

Seitenlängen und Umfang

Winkel

Fläche

Umkreis

Inkreis

Schwerpunkt

Code

Screenshots

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Fortran: Anhang B: Dreiecksberechnung

Aufgabe

Grundlagen

Koordinatenwerte ---> Richtungsvektoren

Seitenlängen und Umfang

Winkel

Fläche

Umkreis

Inkreis

Schwerpunkt

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