Formelsammlung Mathematik: Analytische Geometrie

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Geraden

Parameterdarstellung

Darstellung zu $p=p_0+2\overrightarrow{v}$
mit $p_0=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right]$, $\overrightarrow{v}=\left[\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right]$ und $p=\left[\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right]$.
In einem verschobenen Koordinatensystem bekommen die Ortsvektoren $p_0$ und $p$ (rot) andere Koordinaten. Die Koordinaten des Richtungsvektors $\overrightarrow{v}$ (blau) bleiben jedoch erhalten, sofern das Koordinatensystem nicht gedreht wird.

Punktrichtungsform:

$p(t)=p_0+t\overrightarrow{v},$

$g=\{p(t)\mid t\in ℝ\}.$

$t$	der Parameter
$p_0$	der Stützpunkt
$p(t)$	für jedes $t$ ein Punkt auf der Gerade
$\overrightarrow{v}\ne 0$	der Richtungsvektor
$t\overrightarrow{v}$	Verschiebungsvektoren
$g$	die Gerade

Punktrichtungsform für die Ebene:

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right]+t\cdot \left[\begin{array}{c}{v}_x\\ v_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_0+t{v}_x\\ y_0+t{v}_y\end{array}\right].$

Punktrichtungsform für den Raum:

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\\ z_0\end{array}\right]+t\cdot \left[\begin{array}{c}{v}_x\\ v_y\\ v_z\end{array}\right].$

Gerade durch zwei Punkte: Sind $p_1,p_2$ zwei Punkte mit $p_1\ne p_2$, so ist durch diese Punkte eine Gerade gegeben. Man setzt $p_0:=p_1$ und $\overrightarrow{v}:=p_2-p_1$. Nach Umformung ergibt sich die Zweipunkteform.

Zweipunkteform:

$p(t)=(1-t)p_1+t{p}_2.$

Zweipunkteform für die Ebene:

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=(1-t)\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right]+t\cdot \left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}(1-t)x_1+t{x}_2\\ (1-t)y_1+t{y}_2\end{array}\right].$

Hierbei handelt es sich um eine Affinkombination.

Für $t\in [0,1]$ ist es eine Konvexkombination: eine Parameterdarstellung für die Strecke von $p_1$ nach $p_2$.

Parameterfreie Darstellung

Hesse-Form:

$g=\{p\mid ⟨\overrightarrow{n},p-p_0⟩=0\},$

$p_0$: Stützpunkt, $\overrightarrow{n}$: Normalenvektor.

Die Hesse-Form ist nur in der Ebene möglich. In Koordinaten ergibt sich

$\begin{array}{cc}g& =\{(x,y)\mid n_x(x-x_0)+n_y(y-y_0)=0\}\\ & =\{(x,y)\mid n_{x}x+n_{y}y=n_x{x}_0+n_y{y}_0\}.\end{array}$

Hesse-Normalform: Hesse-Form mit $|\overrightarrow{n}|=1$.

Sei $\overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{w}$ das äußere Produkt.

Plückerform:

$g=\{p\mid (p-p_0)\wedge \overrightarrow{v}=0\}.$

Die Größe $m=p_0\wedge \overrightarrow{v}$ heißt Moment. Beim Tupel $(\overrightarrow{v}:m)$ handelt es sich um Plückerkoordinaten für die Gerade.

In der Ebene gilt speziell:

$g=\{(x,y)\mid (x-x_0)\mathrm{\Delta }y=(y-y_0)\mathrm{\Delta }x\}$

mit $\overrightarrow{v}=(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y)$.

Sei $a:=\mathrm{\Delta }y$ und $b:=-\mathrm{\Delta }x$ sowie $c:=a{x}_0+b{y}_0$. Aus der letzten Gleichung ergibt sich:

$g=\{(x,y)\mid ax+by=c\}.$

Im Raum ergibt sich ein Gleichungssystem:

$g=\{(x,y,z)\mid \left|\begin{array}{c}(x-x_0)\mathrm{\Delta }y=(y-y_0)\mathrm{\Delta }x\\ (y-y_0)\mathrm{\Delta }z=(z-z_0)\mathrm{\Delta }y\\ (x-x_0)\mathrm{\Delta }z=(z-z_0)\mathrm{\Delta }x\end{array}\right|\}$

mit $\overrightarrow{v}=(\mathrm{\Delta }x,\mathrm{\Delta }y,\mathrm{\Delta }z)$.

Abstand Punkt zu Gerade

Sei $p(t):=p_0+t\overrightarrow{v}$ die Punktrichtungsform einer Geraden und sei $q$ ein weiterer Punkt. Bei $\overrightarrow{d}(t):=p(t)-q$ handelt es sich um den Abstandsvektor in Abhängigkeit von $t$.

Ansatz: Es gibt genau ein $t$, so dass gilt:

$⟨\overrightarrow{d},\overrightarrow{v}⟩=0.$

Lösung:

$t=\frac{⟨\overrightarrow{v},q-p_0⟩}{⟨\overrightarrow{v},\overrightarrow{v}⟩}.$

Ebenen

Parameterdarstellung

Seien $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ zwei nicht kollineare Vektoren.

Punktrichtungsform:

$p(s,t)=p_0+s\overrightarrow{u}+t\overrightarrow{v}.$

Parameterfreie Darstellung

Seien $\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ zwei nicht kollineare Vektoren. Durch

$E=\{p\mid (p-p_0)\wedge \overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{w}=0\}.$

wird eine Ebene beschrieben. Hiermit kann auch eine Ebene im höherdimensionalen Raum beschrieben werden, es ergibt sich dann aber ein lineares Gleichungssystem.

Hesse-Form:

$E=\{p\mid ⟨\overrightarrow{n},p-p_0⟩=0\},$

$p_0$: Stützpunkt, $\overrightarrow{n}$: Normalenvektor. Die Hesse-Form einer Ebene ist nur im dreidimensionalen Raum möglich.

Den Normalenvektor bekommt man aus der Punktrichtungsform der Ebene mit

$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$.

Es gilt

$⟨\overrightarrow{n},p-p_0⟩=0⟺⟨\overrightarrow{n},p⟩=⟨\overrightarrow{n},p_0⟩.$

Über den Zusammenhang $\overrightarrow{n}=(a,b,c)$, $p=(x,y,z)$ und $d=⟨\overrightarrow{n},p_0⟩$ ergibt sich die

Koordinatenform:

$E=\{(x,y,z)\mid ax+by+cz=d\}.$

Abstand Punkt zu Ebene

Sei $p(s,t):=p_0+s\overrightarrow{u}+t\overrightarrow{v}$ die Punktrichtungsform einer Ebene und sei $q$ ein weiterer Punkt. Bei $\overrightarrow{d}(s,t):=p-q$ handelt es sich um den Abstandsvektor in Abhängigkeit von $(s,t)$.

Ansatz: Es gibt genau ein Tupel $(s,t)$, so dass gilt:

$⟨\overrightarrow{d},\overrightarrow{u}⟩=0\text{und}⟨\overrightarrow{d},\overrightarrow{v}⟩=0.$

Lösung: Es ergibt sich ein LGS:

$\left[\begin{array}{cc}{g}_{11}& g_{12}\\ g_{21}& g_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}s\\ t\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}⟨\overrightarrow{v},q-p_0⟩\\ ⟨\overrightarrow{u},q-p_0⟩\end{array}\right]$

mit $\left[\begin{array}{cc}{g}_{11}& g_{12}\\ g_{21}& g_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}⟨\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}⟩& ⟨\overrightarrow{v},\overrightarrow{v}⟩\\ ⟨\overrightarrow{v},\overrightarrow{v}⟩& ⟨\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}⟩\end{array}\right].$

Die Lösung des LGS ist:

$\begin{array}{cc}s& =\frac{⟨g_{12}\overrightarrow{v}-g_{12}\overrightarrow{u},q-p_0⟩}{g_{11}^2-g_{12}^2},\\ t& =\frac{⟨g_{12}\overrightarrow{u}-g_{12}\overrightarrow{v},q-p_0⟩}{g_{11}^2-g_{12}^2}.\end{array}$