Formelsammlung Mathematik: Algebra

Rechenregeln

Binomische Formeln

Sei $R$ ein Ring, z. B. $R=ℝ$ oder $R=ℂ$. Sei $a,b\in R$ und $ab=ba$. Dann gilt:

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$	(erste binomische Formel)
$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$	(zweite binomische Formel)
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$	(dritte binomische Formel)

und:

$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$	$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$	$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

Binomischer Lehrsatz

Sei $R$ ein unitärer Ring, z. B. $R=ℝ$ oder $R=ℂ$. Sei $a,b\in R$ und $ab=ba$. Dann gilt:

$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^k$	$(a-b{)}^n=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^{n-k}{b}^k$
$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$	$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$
$(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$	$(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$
$(a+b{)}^4=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4$	$(a-b{)}^4=a^4-4a^{3}b+6a^2{b}^2-4a{b}^3+b^4$
usw.	usw.

Pascalsches Dreieck

Das pascalsche Dreieck ist eine Wertetabelle für die Binomialkoeffizienten

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}.$

	k=0	k=1	k=2	k=3	k=4	k=5	k=6	k=7	k=8
n=0	1
n=1	1	1
n=2	1	2	1
n=3	1	3	3	1
n=4	1	4	6	4	1
n=5	1	5	10	10	5	1
n=6	1	6	15	20	15	6	1
n=7	1	7	21	35	35	21	7	1
n=8	1	8	28	56	70	56	28	8	1

Das Dreieck lässt sich rekursiv durch die Vorschrift

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k+1})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1})$

erzeugen.

Multinomialtheorem

Sei $R$ ein unitärer Ring. Sei $a_1,\dots ,a_m\in R$, wobei die $a_i$ paarweise kommutieren. Es gilt

$(a_1+\dots +a_m{)}^n=\sum _{k_1+\dots +k_m=n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,\dots ,k_m})a_1^{k_1}\cdot \dots \cdot a_m^{k_m}.$

In Multiindex-Notation:

$(a_1+\dots +a_m{)}^n=\sum _{|k|=n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^k$

mit

$k=(k_1,\dots ,k_m),$

$|k|=k_1+\dots +k_m,$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,\dots ,k_m}):=\frac{n!}{k_1!+\dots +k_m!},$

$a^k=a_1^{k_1}\cdot \dots \cdot a_m^{k_m}.$

Die ersten Formeln sind:

n=2	(a+b)2	= a2 + b2 + 2ab
	(a+b+c)2	= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
	(a+b+c+d)2	= a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd
n=3	(a+b)3	= a3 + b3 + 3a2b + 3b2a
	(a+b+c)3	= a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3b2a + 3b2c + 3c2a + 3c2b + 6abc

Potenzen

$a^0=1$

$a^1=a$

$a^2=a\cdot a$

$a^3=a\cdot a\cdot a$

usw.

$a^n=\underset{n𝐅𝐚𝐤𝐭𝐨𝐫𝐞𝐧}{\underbrace{a\cdot a\cdot \dots \cdot a}}$

Definition für $a\in ℝ$ und $n\in \mathbb{Z},n\ge 0$:

$a^0:=1,0^0:=1,$

$a^n:=a^{n-1}\cdot a.(n\ge 1)$

Für $a\ne 0$:

$a^{-n}:=\frac{1}{a^n}.$

Definition für $a\in ℝ,a>0$ und $r\in ℝ$:

$a^r:=\exp (r\cdot \ln (a)).$

Für $r\ne 0$:

$\sqrt[r]{a}:=\exp \left(\frac{\ln (a)}{r}\right)=a^{1/r}.$

Potenzgesetze

Für $a,b\in ℝ,a,b>0$ und $r,s\in ℝ$ gilt:

$a^r{a}^s=a^{r+s}$	$\frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}$	$(a^r{)}^s=a^{rs}$
$(ab{)}^r=a^r{b}^r$	$(\frac{a}{b}{)}^r=\frac{a^r}{b^r}$	$(\frac{1}{a}{)}^r=\frac{1}{a^r}$

Ist zusätzlich $r\ne 0$, so gilt:

$(\sqrt[r]{a}{)}^s=\sqrt[r]{a^s}$	$(\sqrt[r]{ab}{)}^s=\sqrt[r]{a^s}\sqrt[r]{b^s}$	${\left(\sqrt[r]{\frac{a}{b}}\right)}^s=\frac{\sqrt[r]{a^s}}{\sqrt[r]{b^s}}$
$\sqrt[r]{a^s}=a^{s/r}$	$\sqrt[r]{a^r}=a$	$\sqrt[-r]{a}=\frac{1}{\sqrt[r]{a}}=\sqrt[r]{\frac{1}{a}}$

Für $a,b\in ℝ$ und $m,n\in \mathbb{Z},m,n\ge 0$ gilt:

$(ab{)}^n=a^n{b}^n$	$(a^m{)}^n=a^{mn}$
$b\ne 0⟹{\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$

→ Potenzgesetze für komplexen Zahlen

Logarithmen

Graph des Logarithmus zur Basis 2, e und 1/2

Für $a,x,y\in ℝ$ mit $a,x>0$ und $a\ne 1$ gilt:

$x=a^y⟺y={\log }_a(x).$

Logarithmengesetze

Für $x,y,a,r\in ℝ$ mit $x,y,a>0$ und $a\ne 1$ gilt:

$\log (xy)=\log (x)+\log (y)$	$\log (1)=0$	${\log }_a(x)=\frac{\log (x)}{\log (a)}$
$\log \left(\frac{x}{y}\right)=\log (x)-\log (y)$	$\log \left(\frac{1}{x}\right)=-\log (x)$
$\log (x^r)=r\log (x)$	$r\ne 0⟹\log (\sqrt[r]{x})=\frac{1}{r}\log (x)$

Welcher Logarithmus verwendet wird, ist unerheblich. D. h. man setzt $\log :={\log }_a$ für ein festes $a$ mit $a>0$ und $a\ne 1$. Meistens ist $\log :=\ln$ oder $\log :=\lg$.

Spezielle Logarithmen

	Bezeichnung	Definierende Eigenschaft	Basis
Natürliche Logarithmen	ln	${\mathrm{e}}^{\ln (x)}=x$	e=2,718 281 828 459 045... (eulersche Zahl)
Dekadische Logarithmen	lg	$10^{\lg (x)}=x$	10
Binäre Logarithmen	lb, ld	$2^{\mathrm{l}\mathrm{b}(x)}=x$	2

→ Logarithmengesetze für komplexe Zahlen

Gleichungen

Definition

Sind $f,g$ zwei auf der Grundmenge $G$ definierte Funktionen, so nennt man

$f(x)=g(x)$

eine Bestimmungsgleichung, wenn die Lösungsmenge

$L=\{x\in G\mid f(x)=g(x)\}$

gesucht ist.

Bei $G$ kann es sich auch um eine Menge von Tupeln handeln:

$L=\{(x,y)\in G\mid f(x,y)=g(x,y)\},$

$L=\{(x,y,z)\in G\mid f(x,y,z)=g(x,y,z)\},$

usw.

Man schreibt auch $x=(x_1,x_2)$ oder $x=(x_1,x_2,x_3)$ usw.

Äquivalenzumformungen

Äquivalenzumformungen lassen die Lösungsmenge einer Gleichung unverändert.

Seien $A(x),B(x)$ zwei Aussageformen.

Äquivalenz	Implikation
Gilt für alle $x\in G$: $A(x)⟺B(x),$ so gilt: $\{x\in G\mid A(x)\}=\{x\in G\mid B(x)\}.$	Gilt für alle $x\in G$: $A(x)⟹B(x),$ so gilt: $\{x\in G\mid A(x)\}\subseteq \{x\in G\mid B(x)\}.$

Seien $f,g,h$ Funktionen mit Definitionsbereich $G$ und Zielmenge $Z=ℝ$ oder $Z=ℂ$.

Für alle x gilt:

$f(x)=g(x)⟺f(x)+h(x)=g(x)+h(x),$

$f(x)=g(x)⟺f(x)-h(x)=g(x)-h(x).$

Besitzt $h(x)$ keine Nullstellen, so gilt für alle x:

$f(x)=g(x)⟺f(x)\cdot h(x)=g(x)\cdot h(x),$

$f(x)=g(x)⟺\frac{f(x)}{h(x)}=\frac{g(x)}{h(x)}.$

Besitzt $h(x)$ Nullstellen, so gilt immerhin noch für alle x:

$f(x)=g(x)⟹f(x)\cdot h(x)=g(x)\cdot h(x).$

Ist $i$ eine auf dem Definitionsbereich $f(G)\cup \mathrm{g}(G)$ injektive Funktion, dann gilt für alle x:

$f(x)=g(x)⟺i(f(x))=i(g(x)).$

Jede streng monotone Funktion ist injektiv.

Arten von Gleichungen

Polynomgleichungen

• Quadratische Gleichungen