Formelsammlung Mathematik: Komplexe Zahlen

Darstellung

Geometrische Darstellung einer komplexen Zahl.

Kartesische Form

$z=a+b\mathrm{i}$

Polarform (trigonometrische Darstellung)

$z=r(\cos \phi +\mathrm{i}\sin \phi )$

Polarform (Exponentialdarstellung)

$z=r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }$

Elementare Operationen

Name	Operation	Polarform	kartesische Form
Identität	$z$	$=r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }$	$=a+b\mathrm{i}$
Identität	$z_1$	$=r_1{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\phi }_1}$	$=a_1+b_1\mathrm{i}$
Identität	$z_2$	$=r_2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\phi }_2}$	$=a_2+b_2\mathrm{i}$
Addition	$z_1+z_2$		$=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)\mathrm{i}$
Subtraktion	$z_1-z_2$		$=(a_1-a_2)+(b_1-b_2)\mathrm{i}$
Multiplikation	$z_1{z}_2$	$=r_1{r}_2{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}({\phi }_1+{\phi }_2)}$	$=(a_1{a}_2-b_1{b}_2)+(a_1{b}_2+a_2{b}_1)\mathrm{i}$
Division	$\frac{z_1}{z_2}$	$=\frac{r_1}{r_2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}({\phi }_1-{\phi }_2)}$	$=\frac{a_1{a}_2+b_1{b}_2}{a_2^2+b_2^2}+\frac{a_2{b}_1-a_1{b}_2}{a_2^2+b_2^2}\mathrm{i}$
Kehrwert	$\frac{1}{z}$	$=\frac{1}{r}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\phi }$	$=\frac{a}{a^2+b^2}-\frac{b}{a^2+b^2}\mathrm{i}$
Potenzierung	$z^n$	$=r^n{\mathrm{e}}^{n\mathrm{i}\phi }$
Konjugation	$\bar{z}$	$=r{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\phi }$	$=a-b\mathrm{i}$
Realteil	$\mathrm{R}\mathrm{e}(z)$	$=r\cos \phi$	$=a$
Imaginärteil	$\mathrm{I}\mathrm{m}(z)$	$=r\sin \phi$	$=b$
Betrag	$|z|$	$=r$	$=\sqrt{a^2+b^2}$
Argument	$\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}(z)$	$=\phi$	$=s(b)\arccos \left(\frac{a}{r}\right)$

$s(b):=\{\begin{array}{cc}+1& \text{wenn}b\ge 0,\\ -1& \text{wenn}b<0\end{array}$

Rechenweg zur Division:

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\overline{z_2}}{z_2\overline{z_2}}=\frac{z_1{\bar{z}}_2}{|z_2{|}^2}$

$\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{z\bar{z}}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$

Konjugation

Für alle $z,z_1,z_2\in ℂ$ gilt:

$\overline{z_1+z_2}={\overline{z}}_1+{\overline{z}}_2$ $\overline{z_1-z_2}={\overline{z}}_1-{\overline{z}}_2$ $\overline{z_1{z}_2}={\overline{z}}_1{\overline{z}}_2$ $z_2\ne 0⟹\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{{\overline{z}}_1}{{\overline{z}}_2}$ $|\overline{z}|=|z|$ $\overline{\overline{z}}=z$ $z\overline{z}=|z{|}^2$

$\mathrm{Re}(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}$ $\mathrm{Im}(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}$ $\overline{{\mathrm{e}}^z}={\mathrm{e}}^{\overline{z}}$ $\overline{\sin (z)}=\sin (\overline{z})$ $\overline{\cos (z)}=\cos (\overline{z})$

Für alle $z\in ℂ\setminus \{x\in ℝ\mid x\le 0\}$ und $x\in ℂ$ gilt:

$\overline{z^x}={\overline{z}}^{\overline{x}}$

$\overline{\ln (z)}=\ln (\overline{z})$

$\arg (\overline{z})=-\arg (z)$

Argument

Für alle $r>0$, $z,z_1,z_2\in ℂ\setminus \{0\}$ und $x\in ℂ$ gilt:

$\arg (rz)=\arg (z)$

$\arg (z_1{z}_2)\equiv \arg (z_1)+\arg (z_2)(\mathrm{mod}2\pi )$

$\arg \left(\frac{z_1}{z_2}\right)\equiv \arg (z_1)-\arg (z_2)(\mathrm{mod}2\pi )$

$\arg \left(\frac{1}{z}\right)\equiv -\arg (z)(\mathrm{mod}2\pi )$

$\arg (\overline{z})\equiv -\arg (z)(\mathrm{mod}2\pi )$

$\arg (z^x)\equiv \arg (z)\mathrm{Re}(x)+\ln (|z|)\mathrm{Im}(x)(\mathrm{mod}2\pi )$

Für alle $z\in ℂ\setminus \{x\in ℝ\mid x\le 0\}$ gilt:

$\arg (\overline{z})=-\arg (z)$

$\arg \left(\frac{1}{z}\right)=-\arg (z)$

Potenzen

Allgemeine Potenzfunktion $f:{ℝ}^2\to ℂ,f(x,y):=x^y$.

Allgemeine Potenzfunktion $z=x^y$ für die Umgebung von (0; 0). An der Stelle (0; 0) ist die Funktion unstetig.

Definitionen:

${\mathrm{e}}^z:={\mathrm{e}}^a\cos (b)+\mathrm{i}{\mathrm{e}}^a\sin (b)(z=a+b\mathrm{i})$

$\ln (z):=\ln (|z|)+\arg (z)\mathrm{i}(z\ne 0)$

$z^w:={\mathrm{e}}^{w\ln (z)}(z\ne 0)$

Für alle $z,z_1,z_2\in ℂ$ gilt:

${\mathrm{e}}^{z_1+z_2}={\mathrm{e}}^{z_1}{\mathrm{e}}^{z_2}$

${\mathrm{e}}^{-z}=\frac{1}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{z}}}$

${\mathrm{e}}^z\ne 0$

${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}=\cos (z)+\mathrm{i}\sin (z)$

$\mathrm{\forall }k\in \mathbb{Z}:{\mathrm{e}}^{2k\pi \mathrm{i}}=1$

$\mathrm{\forall }k\in \mathbb{Z}:{\mathrm{e}}^{(2k+1)\pi \mathrm{i}}+1=0$

Für alle $z\in ℂ\setminus \{0\}$ und $x,y\in ℂ$ gilt:

$z^{x+y}=z^x{z}^y$

$z^{x-y}=\frac{z^x}{z^y}$

$z^{-x}=\frac{1}{z^x}$

$z^0=1$

Für alle $r>0$, $z\in ℂ\setminus \{0\}$ und $x\in ℂ$ gilt:

$(rz{)}^x=r^x{z}^x$

$(\frac{z}{r}{)}^x=\frac{z^x}{r^x}$

$(\frac{1}{r}{)}^x=\frac{1}{r^x}=r^{-x}$

Für alle $r>0$, $z\in ℂ\setminus \{x\in ℝ\mid x\le 0\}$ und $x\in ℂ$ gilt:

$(\frac{r}{z}{)}^x=\frac{r^x}{z^x}$

Wurzeln

Graph der Funktion f(z) = z⁵−1. Die Nullstellen von f heißen fünfte Einheitswurzeln. Die n-ten Wurzeln einer komplexen Zahl bilden immer ein regelmäßiges n-Eck, dessen Zentrum im Koordinatenursprung liegt.

Sei $\phi :=\arg (z)$. Für alle $n\in \mathbb{N}$ gilt:

$z=w^n⟺w=\sqrt[n]{|z|}\exp \left(\frac{\mathrm{i}\phi +2k\pi \mathrm{i}}{n}\right),k\in \{0,1,\dots ,n-1\}.$

Hauptwert:

$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}\exp \left(\frac{\mathrm{i}\phi }{n}\right).$

Hauptwert, allgemein für $z,x\in ℂ\setminus \{0\}$:

$\sqrt[x]{z}:=\exp \left(\frac{\ln (z)}{x}\right).$

Logarithmen

Definitionen:

$\ln (z):=\ln (|z|)+\arg (z)\mathrm{i}(z\ne 0)$

${\log }_b(a):=\frac{\ln (a)}{\ln (b)}(a,b\in ℂ\setminus \{0\})$

Logarithmus als Urbild der Exponentialfunktion:

$\mathrm{Ln}(z):=\{w\mid \exp (z)=w\}$

$\mathrm{Ln}(z)=\{w\mid w=\ln (z)+2k\pi \mathrm{i},k\in \mathbb{Z}\}$

Für alle $r>0$ und $z\in ℂ\setminus \{0\}$ gilt:

$\ln (rz)=\ln (r)+\ln (z)$

Für alle $z\in ℂ\setminus \{x\in ℝ\mid x\le 0\}$ gilt:

$\ln \left(\frac{1}{z}\right)=-\ln (z)$

Für alle $x,y\in ℂ\setminus \{0\}$ gilt:

$\ln (xy)\equiv \ln (x)+\ln (y)(\mathrm{mod}2\pi \mathrm{i})$

Für alle $z\in ℂ\setminus \{0\}$ und $x\in ℂ$ gilt:

$\ln (z^x)\equiv x\ln (z)(\mathrm{mod}2\pi \mathrm{i})$

Aufgaben

Aufgabe 1

Ist $\alpha$ eine fest vorgegebene komplexe Zahl und ist $z$ eine komplexe Variable, so gilt $\left|z^{\alpha }\right|\in \mathrm{\Theta }(|z{|}^{\text{Re}\alpha })$ für $|z|\to \mathrm{\infty }$. ($\mathrm{\Theta }$: Landau-Symbol)

Aufgabe 2

Sind $z_1,z_2$ komplexe Zahlen mit positivem Realteil und ist $\alpha$ irgendeine komplexe Zahl, so ist $(z_1\cdot z_2{)}^{\alpha }=z_1^{\alpha }\cdot z_2^{\alpha }$ und ${\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}^{\alpha }=\frac{z_1^{\alpha }}{z_2^{\alpha }}$.

Aufgabe 3

Ist $z$ eine komplexe Zahl, so ist $0^z=\{\begin{array}{cc}0& \text{Re}(z)>0\\ 1& z=0\\ \text{nicht definiert}& \text{sonst}\end{array}$.

Aufgabe 4

$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2$

Aufgabe 5

$\sqrt{a+ib}=\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}+i\mathrm{\Theta }(b)\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}}$   , mit $\mathrm{\Theta }(b)=\{\begin{array}{ccc}1& ,& b\ge 0\\ \\ -1& ,& b<0\end{array}$

Komplexe Zahlen/ Buchvergleich