Beweisarchiv: Topologie: Limes von kompakten Hausdorffräumen

Wir zeigen, dass der Limes eines Diagramms von kompakten Hausdorffräumen wieder kompakt und Hausdorffsch ist.

Satz

Sei $(X_i{)}_{i\in ℐ}$ ein Diagramm von kompakten Hausdorff-Räumen in der Kategorie topologischer Räume $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{p}$. Dann ist der Limes $X:=\underset{i\in ℐ}{\lim }{X}_i$ mit der Limestopologie ein kompakter Hausdorffraum. Insbesondere ist die Kategorie kompakter Hausdorff-Räume $\mathrm{C}\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}$ vollständig und der Inklusionsfunktor $\mathrm{C}\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}\to \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{p}$ erhält Limites.

Beweis

Der Limes von Hausdorff-Räumen $\underset{i}{\lim }{X}_i$ ist Hausdorffsch. Nach dem Satz von Tychonoff ist das Produkt $\prod _i{X}_i$ kompakt. Der Limes $\underset{i\in ℐ}{\lim }{X}_i$ trägt per Definition die Teilraumtopologie von $\prod _i{X}_i$ und ist wie folgt definiert:

$\underset{i\in ℐ}{\lim }{X}_i=\{(a_i{)}_{i\in I}\in \prod _{i\in ℐ}{X}_i\mid \mathrm{\forall }i,j\in ℐ:\mathrm{\forall }f\in {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{ℐ}(i,j):X(f)(a_i)=a_j\}\subset \prod _i{X}_i$

Wir werden den Limes als Durchschnitt abgeschlossener Mengen schreiben. Sei dazu für alle $i,j\in ℐ$ und alle $f\in {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{ℐ}(i,j)$

$A_{i,j,f}:=\{(a_i,a_j)\in X_i\times X_j\mid X(f)(a_i)=a_j\}$.

Die Mengen $A_{i,j,f}$ sind abgeschlossene Teilmengen von $X_i\times X_j$, da sie als Urbild

$A_{i,j,f}=(X(f)\times {\mathrm{i}\mathrm{d}}_{X_j}{)}^{-1}({\Delta }_{X_j})$

von der Diagonale ${\Delta }_{X_j}=\{(a,a)\mid a\in X_j\}$ von $X_j$ geschrieben werden können. Die Diagonale ist abgeschlossen, da $X_j$ Hausdorffsch ist.

Nun gilt

$\underset{i\in ℐ}{\lim }{X}_i=\bigcap _{\genfrac{}{}{0ex}{}{i,j\in \in ℐ}{f\in {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{ℐ}(i,j)}}({\mathrm{p}\mathrm{r}}_i\times {\mathrm{p}\mathrm{r}}_j{)}^{-1}(A_{i,j,f}).$

Also ist $\underset{i\in ℐ}{\lim }{X}_i$ ein abgeschlossener Teilraum von $\prod _i{X}_i$. Ein abgeschlossener Teilraum eines kompakten Raumes ist kompakt (siehe Lemma 1).

$◻$