Beweisarchiv: Topologie: Stetige Bijektion von kompakt nach Hausdorff

Wir zeigen, dass eine stetige Bijektion von einem kompakten Raum in einen Hausdorff-Raum ein Homöomorphismus ist. Diese Aussage ist ein grundlegendes technisches Hilfsmittel in der mengentheoretischen Topologie, um festzustellen, dass zwei gegebene topologische Räume homöomorph sind.

Lemma 1

Sei $X$ ein kompakter topologischer Raum und $A\subset X$ eine abgeschlossene Teilmenge. Dann ist $A$ mit der Teilraumtopologie ein kompakter topologischer Raum.

Beweis

Da

$A$

mit der Teilraumtopologie ausgestattet ist, können wir wieder eine offene Überdeckung

$(U_i{)}_{i\in I}$

von

$A$

durch offene Teilmengen von

$X$

heranziehen. Die Menge

$X\setminus A$

ist selbst offen und überdeckt gemeinsam mit

$(U_i{)}_{i\in I}$

ganz

$X$

. Es folgt, dass eine endliche Teilmenge

$I_0\subset I$

der Indexmenge existiert, sodass

$(U_i{)}_{i\in I_0}$

zusammen mit

$X\setminus A$

eine Überdeckung von

$X$

ist. Da aber

$X\setminus A$

disjunkt zu

$A$

ist, ist

$(U_i{)}_{i\in I_0}$

eine Überdeckung von

$A$

, was zu zeigen war.

$◻$

Lemma 2

Sei $X$ ein kompakter topologischer Raum und $f:X\to Y$ eine stetige Abbildung in einen weiteren topologischen Raum $Y$. Dann ist das Bild $f(X)$ kompakt.

Beweis

Zu zeigen ist, dass jede offene Überdeckung von

$f(X)$

eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Wir können dazu eine Überdeckung

$(U_i{)}_{i\in I}$

durch offene Teilmengen von

$Y$

heranziehen. Es folgt, dass

$(f^{-1}(U_i){)}_{i\in I}$

eine Überdeckung von

$X$

durch offene Teilmengen ist. Da

$X$

kompakt ist, existiert eine endliche Teilmenge

$I_0\subset I$

der Indexmenge, sodass

$(f^{-1}(U_i){)}_{i\in I_0}$

noch immer eine Überdeckung von

$X$

ist. Für jeden Punkt

$x\in X$

existiert also ein

$i\in I_0$

, sodass

$f(x)\in U_i$

ist. Das heißt aber gerade, dass

$(U_i{)}_{i\in I_0}$

eine endliche Überdeckung von

$f(X)$

ist, was zu zeigen war.

$◻$

Lemma 3

Sei $Y$ ein Hausdorff-Raum und sei $K\subset Y$ eine kompakte Teilmenge. Dann ist $K$ abgeschlossen in $Y$.

Beweis

Wir zeigen, dass

$Y\setminus K$

offen ist. Sei

$y\in Y\setminus K$

. Da

$Y$

Hausdorff ist existieren für jeden Punkt

$k\in K$

offene Umgebungen

$U_k$

von

$k$

und

$V_k$

von

$y$

, sodass

$U_k\cap V_k=\mathrm{\varnothing }$

. Die Familie

$(U_k{)}_{k\in K}$

ist eine offene Überdeckung von

$K$

und besitzt wegen Kompaktheit eine endliche Teilüberdeckung

$(U_k{)}_{k\in K_0}$

. Der Durchschnitt

$V:=\bigcap _{k\in K_0}{V}_k$

ist eine offene Umgebung von

$y\in Y$

und disjunkt zu

$K$

. Es folgt, dass jeder Punkt in

$Y\setminus K$

eine offene Umgebung besitzt, die vollständig in

$Y\setminus K$

enthalten ist. Also ist

$Y\setminus K$

offen.

$◻$

Satz

Seien $X$ ein kompakter topologischer Raum und sei $Y$ ein Hausdorff-Raum. Sei $f:X\to Y$ eine stetige bijektive Abbildung. Dann ist die Umkehrabbildung von $f$ stetig, insbesondere ist $f$ ein Homöomorphismus.

Beweis

Sei

$U\subset X$

eine offene Teilmenge. Dann ist

$X\setminus U$

eine abgeschlossene Teilmenge. Da

$X$

kompakt ist, folgt nach Lemma 1, dass

$X\setminus U$

kompakt ist. Nach Lemma 2 folgt, dass

$f(X\setminus U)$

kompakt ist. Nach Lemma 3 ist

$f(X\setminus U)$

abgeschlossen. Da

$f$

bijektiv ist, ist

$f(X\setminus U)=f(X)\setminus f(U)$

. Es folgt, dass

$f(U)$

offen ist und damit letztendlich, dass

$f^{-1}$

stetig ist.

$◻$