Beweisarchiv: Topologie: Limes von Hausdorffräumen

Wir zeigen, dass ein Limes eines Diagramms von Hausdorffräumen in der Kategorie topologischer Räume $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{p}$ Hausdorffsch ist.

Satz

Sei $(X_i{)}_{i\in I}$ ein Diagramm von Hausdorff-Räumen in der Kategorie der topologischen Räume. Dann ist der Limes in der Kategorie topologischer Räume $\underset{i}{\lim }{X}_i$ ein Hausdorff-Raum. Insbesondere ist die Kategorie $\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}$ der Hausdorff-Räume mit stetigen Abbildungen vollständig und der Inklusionsfunktor $\mathrm{H}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}\to \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{p}$ erhält Limites.

Beweis

Per Konstruktion ist $\underset{i}{\lim }{X}_i$ ein Teilraum von $\prod _{i\in I}{X}_i$. Ein Teilraum eines Hausdorff-Raumes ist Hausdorff. Es genügt also zu zeigen, dass das Produkt Hausdorffsch ist. Das wurde in Beweisarchiv:_Topologie:_Produkt_von_Hausdorffräumen gezeigt.

$◻$