Beweisarchiv: Topologie: Produkt von Hausdorffräumen

Wir zeigen, dass das Produkt einer Familie von Hausdorffräumen Hausdorffsch ist.

Satz

Sei $(X_i{)}_{i\in I}$ eine Familie von Hausdorff-Räumen. Dann ist der Produktraum $X:=\prod _{i\in I}{X}_i$ mit der Produkttopologie Hausdorffsch.

Beweis

Seien $x:=(x_i{)}_{i\in I}\in X$ und $y:=(y_i{)}_{i\in I}\in X$ verschiedene Punkte. Dann existiert ein $i\in I$, sodass $x_i\ne y_i$ ist. Da nach Voraussetzung $X_i$ Hausdorffsch ist, existieren disjunkte offene Umgebungen $U\subset X_i$ von $x_i$ und $V\subset X_i$ von $y_i$. Die zugehörigen basisoffenen Mengen ${\mathrm{p}\mathrm{r}}_i^{-1}(U)$ und ${\mathrm{p}\mathrm{r}}_i^{-1}(V)$ sind disjunkt und Umgebungen von $x$ bzw. $y$.

$◻$