Beweisarchiv: Topologie: Top hat Limites

Wir zeigen, dass die Kategorie topologischer Räume $\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{p}$ mit stetigen Abbildungen (kleine) Limites besitzt und wie diese konstruiert werden.

Satz

Sei $ℐ$ eine kleine Kategorie und

$X:ℐ\to \mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{p},i\mapsto X_i$

ein Diagramm topologischer Räume über $ℐ$, so existiert der Limes des Diagramms in der Kategorie topologischer Räume.

Beweis

Wir konstruieren den Limes direkt. Sei

$L:=\{(a_i{)}_{i\in I}\in \prod _{i\in ℐ}{X}_i\mid \mathrm{\forall }i,j\in ℐ:\mathrm{\forall }f\in {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{ℐ}(i,j):X(f)(a_i)=a_j\}\subset \prod _{i\in ℐ}{X}_i$

mit der Teilraumtopologie der Produkttopologie auf $\prod _{i\in ℐ}{X}_i$ ausgestattet. Wir definieren die Projektionen durch

${\pi }_j:L\to X_j,(a_i{)}_{i\in I}\mapsto a_j$

Die Projektionen sind stetig: Ist $U\subset X_j$ eine offene Teilmenge, so ist ${\mathrm{p}\mathrm{r}}_j^{-1}(U)\subset \prod _{i\in ℐ}{X}_i$ basisoffen, wobei ${\mathrm{p}\mathrm{r}}_j:\prod _{i\in ℐ}{X}_i\to X_j$ die kanonische Projektion bezeichnet. Per Definition ist ${\pi }_j^{-1}(U)={\mathrm{p}\mathrm{r}}_j^{-1}(U)\cap L$ und damit offen in $L$.

Wir verifizieren die universelle Eigenschaft. Sei $T$ ein beliebiger topologischer Raum und $g_i:T\to X_i$ eine Familie stetiger Abbildungen, sodass $X(f)\circ g_i=g_j$ für alle $i,j\in ℐ$ und alle $f\in {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{ℐ}(i,j)$ gilt. Dann existiert genau eine Abbildung $g:T\to L$ mit ${\pi }_i\circ g=g_i$ für alle $i\in ℐ$, nämlich

$g:T\to L,t\mapsto (g_i(t){)}_{i\in ℐ}$

Diese ist stetig: Es genügt, das auf basisoffenen Mengen in $L$ nachzurechnen. Sei also $U\subset L$ offen von der Form $\prod _{i\in ℐ}{U}_i$ wobei $U_i\subset X_i$ offen ist und für alle außer endlich viele $i\in ℐ$ die Gleichheit $U_i=X_i$ gilt. Es gilt

$g^{-1}(U)=\bigcap _{i\in ℐ}{g}_i^{-1}(U_i)$

Dieser Durchschnitt ist endlich und da die

$g_i$

stetig ist, ist die rechte Seite offen. Also ist

$g^{-1}(U)$

offen, was zu zeigen war.

$◻$