Beweisarchiv: Geometrie: Trigonometrie: Additionstheoreme: Tangens

Additionstheoreme (Tangens)

Beweis für:

$\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \cdot \tan \beta }$

Es gilt:

(1)   $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos (\alpha +\beta )}$

Nach den Additonstheoremen (Sinus) und (Kosinus)

(2.1)   $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\sin \beta \cdot \cos \alpha$

(2.2)   $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta$

in (1) eingestzt

(3)   $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\sin \alpha \cdot \cos \beta +\sin \beta \cdot \cos \alpha }{\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta }$

Zähler und Nenner durch   $\cos \alpha \cdot \cos \beta$   geteilt

(4.1)   $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\frac{\sin \alpha \cdot \cos \beta +\sin \beta \cdot \cos \alpha }{\cos \alpha \cdot \cos \beta }}{\frac{\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha \cdot \cos \beta }}$

(4.2)   $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\cdot 1+1\cdot \frac{\sin \beta }{\cos \beta }}{1-\frac{\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha \cdot \cos \beta }}$

mit   $\tan =\frac{\sin }{\cos }$   eingesetzt

(5)   $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \cdot \tan \beta }$

Wenn Winkel   $\beta$   negativ:

(6)   $\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan (-\beta )}{1-\tan \alpha \cdot \tan (-\beta )}$

weil

(7)   $\tan (-\beta )=-\tan \beta$

(8)   $\tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \cdot \tan \beta }$

(5) und (8) zusammengefasst

$\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \left(\alpha \right)\pm \tan \left(\beta \right)}{1\mp \tan \left(\alpha \right)\cdot \tan \left(\beta \right)}$

Wikipedia-Verweise

Additionstheoreme