Beweisarchiv: Geometrie: Trigonometrie: Additionstheoreme: Kotangens

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Additionstheoreme (Kotangens)

Beweis für:

cot⁡(α±β)=cot⁡α⋅cot⁡β∓1cot⁡β±cot⁡α

Es gilt:

(1)   cot⁡(α+β)=cos⁡(α+β)sin⁡(α+β)

Nach den Additonstheoremen (Sinus) und (Kosinus)

(2.1)   cos⁡(α+β)=cos⁡α⋅cos⁡β−sin⁡α⋅sin⁡β

(2.2)   sin⁡(α+β)=sin⁡α⋅cos⁡β+sin⁡β⋅cos⁡α

in (1) eingestzt

(3)   cot⁡(α+β)=cos⁡α⋅cos⁡β−sin⁡α⋅sin⁡βsin⁡α⋅cos⁡β+sin⁡β⋅cos⁡α

Zähler und Nenner durch   sin⁡α⋅sin⁡β   geteilt

(4.1)   cot⁡(α+β)=cos⁡α⋅cos⁡β−sin⁡α⋅sin⁡βsin⁡α⋅sin⁡βsin⁡α⋅cos⁡β+sin⁡β⋅cos⁡αsin⁡α⋅sin⁡β

(4.2)   cot⁡(α+β)=cos⁡α⋅cos⁡βsin⁡α⋅sin⁡β−11⋅cos⁡βsin⁡β+1⋅cos⁡αsin⁡α

mit   cot⁡=cossin   eingesetzt

(5)   cot⁡(α+β)=cot⁡α⋅cot⁡β−1cot⁡β+cot⁡α


Wenn Winkel   β   negativ:

(6)   cot⁡(α−β)=cot⁡α⋅cot⁡(−β)−1cot⁡(−β)+cot⁡α

weil

(7)   cot⁡(−β)=−cot⁡β

(8.1)   cot⁡(α−β)=−cot⁡α⋅cot⁡β−1−cot⁡β+cot⁡α

Zähler und Nenner mal -1

(8.2)   cot⁡(α−β)=−cot⁡α⋅cot⁡β−1−cot⁡β+cot⁡α


(5) und (8.2) zusammengefasst

(9)   cot⁡(α±β)=cot⁡α⋅cot⁡β∓1cot⁡β±cot⁡α


Wikipedia-Verweise

Additionstheoreme

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