Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Sekantensatz

Sekantensatz

Der Sekantensatz sagt: Schneiden zwei Sekanten einander außerhalb des Kreises in einem Punkt

$P$

, so ist das Produkt der Abschnittslängen vom Sekantenschnittpunkt bis zu den beiden Schnittpunkten von Kreis und Sekante auf beiden Sekanten gleich groß.

Sekantensatz

Gegeben sei ein Kreis mit zwei Sekanten die sich in einem Punkt $P$ außerhalb des Kreises schneiden. Bezeichnet man die Schnittpunkte des Kreises mit der einen Sekante als $A$ beziehungsweise $D$ und der anderen Sekante als $B$ beziehungsweise $C$ so gilt:

$\overline{AP}\cdot \overline{DP}=\overline{BP}\cdot \overline{CP}$

Diese Aussage kann man auch als Verhältnisgleichung formulieren:

$\overline{AP}:\overline{BP}=\overline{CP}:\overline{DP}$

Der Sekantensatz lässt sich – ähnlich wie der Sehnensatz und der Sekanten-Tangenten-Satz – mit Hilfe ähnlicher Dreiecke beweisen.

Die $△APC$ und $△BPD$ sind ähnliche Dreiecke, denn:

1) Gemeinsamer Winkel $\phi$ in Punkt $P$

2) Die Umfangswinkel über einer Sehne sind gleich groß; Sehne $\overline{AB}$ ergibt ${\gamma }_1={\delta }_1$

$\mathrm{△}APC\sim \mathrm{△}BPD$ ähnliche Dreiecke

daraus ergibt sich die Verhältnisgleichung

$\overline{AP}:\overline{BP}=\overline{CP}:\overline{DP}$

und umgewandelt

$\overline{AP}\cdot \overline{DP}=\overline{BP}\cdot \overline{CP}$