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Sehnensatz

Der Sehnensatz sagt: Schneiden zwei Sehnen einander in einem Punkt $S$, so ist das Produkt der jeweiligen Sehnenabschnitte gleich.

Sehnensatz

Gegeben sei ein Kreis mit zwei Sehnen die sich in einem Punkt $S$ schneiden. Bezeichnet man die Schnittpunkte des Kreises mit der einen Sehne als $A$ beziehungsweise $C$ und die andere Sehne $B$ beziehungsweise $D$, so gilt:

$\overline{AS}\cdot \overline{CS}=\overline{BS}\cdot \overline{DS}\Rightarrow a\cdot c=b\cdot d$

Diese Aussage kann man auch als Verhältnisgleichung formulieren:

$\overline{AS}:\overline{DS}=\overline{BS}:\overline{CS}\Rightarrow \frac{a}{d}=\frac{b}{c}$

Umgekehrt gilt auch:

Wenn für die Diagonalen eines Vierecks $ABCD$ mit dem Diagonalenschnittpunkt $S$ gilt:

$\overline{AS}\cdot \overline{CS}=\overline{BS}\cdot \overline{DS}\Rightarrow a\cdot c=b\cdot d$

dann besitzt diese Viereck einen Umkreis!!

Der Sehnensatz lässt sich - ähnlich wie der Sekantensatz und der Sekanten-Tangenten-Satz – mit Hilfe ähnlicher Dreiecke beweisen:

Die $\mathrm{△}ASD$ und $\mathrm{△}BSC$ sind ähnliche Dreiecke denn:

1) Die Scheitelwinkel in $S$ sind gleich groß ${\phi }_1={\phi }_2$

2) Die Umfangswinkel über einer Sehne sind gleich groß; Sehne $\overline{AB}$ ergibt ${\gamma }_1={\delta }_1$

beziehungsweise Sehne $\overline{CD}$ ergibt ${\alpha }_1={\beta }_1$

$\mathrm{△}ASD\sim \mathrm{△}BSC$ ähnliche Dreiecke

daraus ergibt sich die Verhältnisgleichung

$\frac{a}{d}=\frac{b}{c}$

und umgewandelt

$a\cdot c=b\cdot d$