Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Sehnenviereck

Gegenüberliegende Winkel im Sehnenviereck

Beweis 1

Im Sehnenviereck beträgt die Winkelsumme der gegenüberliegenden Winkel $180^{\circ }$.

Dieses lässt sich wie folgt beweisen:

$\alpha +{\beta }_1+{\delta }_2=180^{\circ }$ Winkelsumme im $\mathrm{△}ABD$

${\delta }_2={\gamma }_1$ Umfangswinkel über Sehne $\overline{AB}$ (sind gleich)

${\beta }_1={\gamma }_2$ Umfangswinkel über Sehne $\overline{AD}$ (sind gleich)

eingesetzt ergibt sich

$\alpha +{\gamma }_2+{\gamma }_1=180^{\circ }$

mit

$\gamma ={\gamma }_1+{\gamma }_2$

$\alpha +\gamma =180^{\circ }$

Analog gilt für

$\beta +\delta =180^{\circ }$

Beweis 2

Im Sehnenviereck beträgt die Winkelsumme der gegenüberliegenden Winkel $180^{\circ }$.

$\alpha +\gamma =180^{\circ }$

$\beta +\delta =180^{\circ }$

Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus dem Kreiswinkelsatz bzw. Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel, da zwei gegenüberliegende Winkel des Sehnenvierecks Umfangswinkel über zwei komplementären Kreisbögen sind, deren Mittelpunktswinkel sich zu $360^{\circ }$ ergänzen. Da Umfangswinkel halb so groß sind wie Mittelpunktswinkel über dem gleichen Bogen, müssen sich die Umfangswinkel zu

$\frac{360^{\circ }}{2}=180^{\circ }$

ergänzen.

Wikipedia-Verweise

Sehnenviereck