Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel

Mittelpunktswinkel - Umfangswinkel

Nachweis, dass der Mittelpunktswinkel $\phi$ doppelt so groß wie der Umfangswinkel $\gamma$ ist:

(Siehe Skizze rechts)

Das $△AMC$ ist ein gleichschenkliges Dreieck da $\overline{AM}=\overline{CM}=r$ ist. Die anliegenden Winkel sind deshalb gleich groß:

${\alpha }_1={\gamma }_1$

Winkelsumme im Dreieck:

${\alpha }_1+{\gamma }_1+{\delta }_1=180^{\circ }$

${\delta }_1=180^{\circ }-{\alpha }_1-{\gamma }_1=180^{\circ }-2{\gamma }_1$

Winkel der Geraden $180^{\circ }$:

${\delta }_1+{\phi }_1=180^{\circ }$

${\phi }_1=180^{\circ }-{\delta }_1$

eingesetzt ergibt sich:

${\phi }_1=180^{\circ }-180^{\circ }+2{\gamma }_1$

${\phi }_1=2{\gamma }_1$

Für das $△BMC$ gilt dasselbe, so dass analog gilt:

${\phi }_2=2{\gamma }_2$

und damit:

$\phi ={\phi }_1+{\phi }_2=2{\gamma }_1+2{\gamma }_2=2({\gamma }_1+{\gamma }_2)$

$\gamma ={\gamma }_1+{\gamma }_2$

$\phi =2\gamma$

Da der Punkt $C$ beliebig auf dem Kreisbogen verschoben werden kann, gilt dieser Nachweis für alle Umfangswinkel. Damit ist auch der Beweis erbracht, dass alle Umfangswinkel über derselben Sehne $\overline{AB}$ gleich sind.

Sonderfall

Satz des Thales

Ein besonders wichtiger Sonderfall liegt vor, wenn der gegebene Kreisbogen ein Halbkreis ist: In diesem Fall ist der Mittelpunktswinkel gleich $180^{\circ }$ (ein gestreckter Winkel), während die Umfangswinkel gleich $90^{\circ }$, also rechte Winkel sind. Damit erweist sich der Satz des Thales als Spezialfall des Umfangswinkelsatzes.

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