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Satz des Thales

Der Satz des Thales besagt, dass jedes Dreieck $△ABC$ rechtwinklig ist, wenn $C$ auf einem Halbkreis über $\overline{AB}$ liegt.

Beweis 1

Da $\overline{AM}=\overline{CM}=\overline{BM}=r$ sind $△AMC$ und $△CMB$ gleichschenklige Dreiecke. Weil die beiden Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich groß sind, gilt:

(1)  ${\alpha }_1={\gamma }_1$

und

(2)  ${\beta }_2={\gamma }_2$

Da alle Winkel in einem Dreieck addiert $180^{\circ }$ ergeben, gilt für das Dreieck $△ABC$:

(3)  ${\alpha }_1+{\beta }_2+{\gamma }_1+{\gamma }_2=180^{\circ }$

Setzt man nun  (1)  und  (2)  ein, erhält man:

(3.1)  ${\gamma }_1+{\gamma }_2+{\gamma }_1+{\gamma }_2=180^{\circ }$

(3.2)  $2{\gamma }_1+2{\gamma }_2=180^{\circ }$

(3.3)  $2({\gamma }_1+{\gamma }_2)=180^{\circ }$

(3.4)  ${\gamma }_1+{\gamma }_2=90^{\circ }$

(3.5)  $\gamma =90^{\circ }$

Damit ist der Satz des Thales bewiesen, denn das Dreieck $△ABC$ enthält immer den rechten Winkel $\gamma$ bei $C$ und ist somit immer rechtwinklig.

Siehe auch weiter oben den Sonderfall von Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel

Beweis 2

Man lege ein kartesisches Koordinatensystem so fest, dass der Mittelpunkt $M$ des Kreises im Koordinatenursprung liegt und sich $\overline{AB}$ auf der x-Achse befindet. Nun ist

$\overrightarrow{b}:=\overrightarrow{MB}=\left(\begin{array}{c}r\\ 0\end{array}\right)$ und $\overrightarrow{a}:=\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{b}.$

Außerdem ist

$\overrightarrow{c}:=\overrightarrow{MC}=\left(\begin{array}{c}r\cos {\delta }_2\\ r\sin {\delta }_2\end{array}\right),$

wobei der Winkel ${\delta }_2$ beliebig ist. Die Vektoren $\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$ sind genau dann rechtwinklig, wenn $⟨\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}⟩=0$ ist.

Es ergibt sich nun:

$\begin{array}{cc}& ⟨\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a},\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}⟩=⟨\overrightarrow{c},\overrightarrow{c}⟩-⟨\overrightarrow{c},\overrightarrow{a}⟩-⟨\overrightarrow{c},\overrightarrow{b}⟩+⟨\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}⟩\\ & =|\overrightarrow{c}{|}^2-⟨\overrightarrow{c},\overrightarrow{a}⟩+⟨\overrightarrow{c},\overrightarrow{a}⟩-|\overrightarrow{a}{|}^2\\ & =({\cos }^2{\delta }_2+{\sin }^2{\delta }_2)r^2-r^2=r^2-r^2=0,\end{array}$

wobei

${\cos }^2{\delta }_2+{\sin }^2{\delta }_2=1$

ausgenutzt wurde.

q.e.d.

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