Beweisarchiv: Analysis: Konvergenz: 1/n ist eine Nullfolge

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{n}\right)}_{n\ge 1}=0$.

Beweis

Wir verwenden einen direkten Beweis.
Sei also ${\left(\frac{1}{n}\right)}_{n\ge 1}$ die gegebene Zahlenfolge. Dann gibt es mit der archimedischen Eigenschaft von $ℝ$ für alle $a,\epsilon \in ℝ$ mit $\epsilon >0$ eine natürliche Zahl $n_0\in \mathbb{N}$ mit $n_0\epsilon >a$, also auch $n_0\epsilon >1$ und damit folgt $n_0\ge 1$.
Damit ist für jede natürliche Zahl $n\in \mathbb{N}$ mit $n\ge n_0$ auch $\frac{1}{n}<\epsilon$ für beliebig kleine $\epsilon >0$.

$◻$