Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Archimedische Eigenschaft der reellen Zahlen

Beweisarchiv: Algebra: TOPNAV Sind $a,b\in ℝ$ mit $a>0$, so existiert eine natürliche Zahl $n\in \mathbb{N}$ mit $na>b$.

Beweis

Wir verwenden einen Widerspruchsbeweis.
Seien also $a,b\in ℝ$ mit $a>0$ und es gäbe keine solche natürliche Zahl $n\in \mathbb{N}$ mit $na>b$, so gilt $na\le b$ für alle natürlichen Zahlen $n\in \mathbb{N}$, also ist $b$ eine obere Schranke der Menge

$M:=\{na|n\in \mathbb{N}\}\subseteq ℝ$.

Da $M$ nach oben beschränkt und wegen $0\in M$ nicht leer ist, hat $M$ mit dem Vollständigkeitsaxiom ein Supremum $s:=\sup M$ mit $na\le s$ für alle $n\in \mathbb{N}$. Nun nehme $s-\frac{a}{2}\in ℝ$, dann gibt es wegen $s-\frac{a}{2}<s$ ein $na\in M$ mit $na>s-\frac{a}{2}$. Damit gilt aber $na+\frac{a}{2}>s\Rightarrow na+2\frac{a}{2}=na+a=(n+1)a>s$. Wegen $(n+1)\in \mathbb{N}$ ist aber auch $(n+1)a\in M$ im Widerspruch zu $s=\sup M$.

$◻$

Wikipedia-Verweis

Archimedisches Axiom