Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Charakterisierung konstanter Funktionen

Definition

Seien $I\subseteq ℝ$ ein Intervall und $f:I\to ℝ$ eine stetig differenzierbare Funktion. Dann ist $f$ konstant, wenn für alle $a,b\in ℝ$ gilt $f(a)=f(b)$.

Satz

$f$ ist genau dann konstant, wenn für die Ableitungsfunktion $f^{\prime }:I\to ℝ$ gilt $f^{\prime }=0$.

Beweis

„$\Rightarrow$“: Seien $f$ konstant und $x\in I$. Dann gilt $f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{0}{h}=0$.

„$\Leftarrow$“: Seien $f^{\prime }(x)=0$ für alle $x\in I$ und $a,b\in I$ mit $a\ne b$, dann können wir durch eventuelles Vertauschen $a<b$ annehmen. Nach dem Mittelwertsatz existiert ein $\xi \in (a,b)$ mit $f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. Also ist wegen$f^{\prime }(\xi )=0$ auch $f(b)-f(a)=0$ und damit $f(a)=f(b)$.

$◻$