Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Mittelwertsatz

Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung verallgemeinert den Satz von Rolle u.a. auf beliebige Sekantensteigungen. Hier wird zunächst der erweiterte Mittelwertsatz gezeigt, der den einfachen als Spezialfall bzw. Korollar enthält.

Voraussetzung

Sei $a<b$ und die Funktionen $f,g:[a,b]\to ℝ$ auf dem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ stetig sowie auf dem offenen Intervall $(a,b)$ differenzierbar.

Behauptung

Dann gibt es ein $\xi \in (a,b)$ mit

$f^{\prime }(\xi )\cdot (g(b)-g(a))=g^{\prime }(\xi )\cdot (f(b)-f(a)).$

Hat $g^{\prime }$ in $(a,b)$ keine Nullstelle, so gilt für dieses $\xi$ auch

$\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.$

Beweis

Betrachte die Funktion $h:[a,b]\to ℝ$ die gegeben ist durch

$h(x)=f(x)\cdot (g(b)-g(a))-g(x)\cdot (f(b)-f(a)).$

Dann ist $h$ auf $[a,b]$ stetig und auf $(a,b)$ differenzierbar mit Ableitung

$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\cdot (g(b)-g(a))-g^{\prime }(x)\cdot (f(b)-f(a))$.

Wir berechnen

$\begin{array}{cc}h(a)& =f(a)\cdot (g(b)-g(a))-g(a)\cdot (f(b)-f(a))\\ & =f(a)g(b)-f(a)g(a)-g(a)f(b)+g(a)f(a)\\ & =f(a)g(b)-f(b)g(a)\end{array}$

sowie

$\begin{array}{cc}h(b)& =f(b)\cdot (g(b)-g(a))-g(b)\cdot (f(b)-f(a))\\ & =f(b)g(b)-f(b)g(a)-g(b)f(b)+g(b)f(a)\\ & =f(a)g(b)-f(b)g(a)\end{array}$

Es ist also $h(a)=h(b)$ und nach dem Satz von Rolle gibt es dann ein $\xi \in (a,b)$ mit $h^{\prime }(\xi )=0$. Dies bedeutet aber auch

$f^{\prime }(\xi )\cdot (g(b)-g(a))=g^{\prime }(\xi )\cdot (f(b)-f(a)),$

was zu zeigen war.

Hat weiter $g^{\prime }$ keine Nullstelle in $(a,b)$ so gilt wiederum wegen des Satzes von Rolle gewiss nicht $g(a)=g(b)$. Folglich können wir sowohl durch $g^{\prime }(\xi )$ als auch $g(b)-g(a)$ dividieren und erhalten die Zusatzbehauptung.

Korollar

Sei $a<b$ und die Funktion $f:[a,b]\to ℝ$ auf dem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ stetig sowie auf dem offenen Intervall $(a,b)$ differenzierbar. Dann gibt es ein $\xi \in (a,b)$ mit

$f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Bemerkung: Oft findet man auch die folgende äquivalente Formulierung (die mutatis mutandis auch für $h<0$ gilt):

Sei $f:[a,a+h]\to ℝ$ auf dem abgeschlossenen Intervall $[a,a+h]$ stetig sowie auf dem offenen Intervall $(a,a+h)$ differenzierbar. Dann gibt es ein $\vartheta \in (0,1)$ mit

$f^{\prime }(a+\vartheta h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$

Beweis

Definiere $g(x)=x$ und wende den Satz an.

Wikipedia-Verweis

• Mittelwertsatz der Differentialrechnung