Mathe für Nicht-Freaks: Austauschlemma und Austauschsatz von Steinitz

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Wir beweisen den Austauschssatz, um später die Wohldefiniertheit der Dimension zu zeigen.

Motivation

In diesem Artikel wollen wir das Austauschlemma und den Austauschssatz von Steinitz behandeln. Diese besagen, wie eine gegebene Basis eines Vektorraums in eine andere umgewandelt werden kann, indem man manche der alten Basisvektoren geschickt durch neue Vektorraumelemente ersetzt. Das ist vor allem dann hilfreich, wenn man eine Basis konstruieren möchte, die gewisse vorher überlegte Vektoren enthält. Eine weitere Aussage des Austauschsatzes ist die Tatsache, dass linear unabhängige Mengen allgemein höchstens so mächtig sind wie Basen. Dieses Resultat ist zum Beispiel für die Definition der Dimension eines Vektorraums wesentlich. Wir beweisen zunächst das Austauschlemma.

Austauschlemma

Das Austauschlemma

Als nächstes beweisen wir eine leichte Abwandlung des Austauschlemmas. Sie zeigt, dass das Lemma "fast immer" anwendbar ist. Dabei setzen wir nämlich nur voraus, dass der neue Basisvektor $w$ nicht der Nullvektor ist: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Austauschsatz von Steinitz

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