Mathe für Nicht-Freaks: Beispiele für Integrale

In diesem Kapitel wollen wir die wichtigsten Beispiele von unbestimmten Integralen beziehungsweise Stammfunktionen zusammenfassen, die dir im Laufe des ersten Semsters begegnen werden. Mit Umkehrung der Ableitungsregeln, sowie der Substitutionsregel und der Partiellen Integration kannst du dann weitere, aus diesen Funktionen zusammengesetzte, Funktionen integrieren.

Übersicht

Im folgenden geben wir dir eine Übersicht über die wichtigsten Funktionen und deren Ableitungen, sowie deren Definitionsbereich. Es gilt immer $C \in ℝ$ .

Funktionsname	Funktionsterm	Stammfunktion	Definitionsbereich
Konstante	$c$	$c x + C$	$ℝ$
Potenz (natürlicher Exponent)	$x^{n}$ , $n \in ℕ$	$\frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$	$ℝ$
Polynom	$\sum_{k = 0}^{n} a_{k} x^{k}$ , $n \in ℕ_{0}$ , $a_{k} \in ℝ$	$\sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k + 1} a_{k} x^{k + 1} + C$	$ℝ$
Hyperbelfunktion	$\frac{1}{x} = x^{- 1}$	$\ln \| x \| + C$	$ℝ ∖ {0}$
Potenz (negativer ganzzahliger Exponent)	$x^{- n} = \frac{1}{x^{n}}$ , $n \in ℕ ∖ {1}$	$- \frac{1}{n - 1} x^{- n + 1} + C$	$ℝ ∖ {0}$
Quadratwurzel	$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$	$\frac{2}{3} \sqrt[2]{x^{3}} + C = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$	$ℝ^{+}$
Allgemeine Wurzel	$\sqrt[q]{x^{p}}$ , $q \in ℕ, p \in ℤ$	$\frac{q}{q + p} (\sqrt[q]{x})^{q + p} + C$	$ℝ^{+}$
Exponentialfunktion	$\exp (x) = e^{x}$	$\exp (x) = e^{x} + C$	$ℝ$
Allgemeine Exponentialfunktion	$a^{x} = \exp (x \ln a)$ , $a \in ℝ^{+}$	$\frac{1}{\ln (a)} a^{x} + C$	$ℝ$
Allgemeine Potenz	$x^{r} = \exp (r \ln x)$ , $r \in ℝ ∖ {- 1}$	$\frac{1}{r + 1} x^{r + 1} + C$	$ℝ^{+}$
Natürliche Logarithmusfunktion	$\ln (x)$	$x \cdot \ln (x) - x + C$	$ℝ^{+}$
Allgemeine Logarithmusfunktion	$\log_{a} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln a}$ , $a \in ℝ ∖ {0}$	$\frac{x \cdot \ln (x) - x}{\ln a} + C$	$ℝ^{+}$
Sinus	$\sin (x)$	$- \cos (x) + C$	$ℝ$
Cosinus	$\cos (x)$	$\sin (x) + C$	$ℝ$
Tangens	$\tan (x) = \frac{\sin x}{\cos x}$	$- \ln (\cos (x)) + C$	$ℝ ∖ {\frac{π}{2} + k π ∣ k \in ℤ}$
Sekans	$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)}$	$\ln \| \sec (x) + \tan (x) \| + C$	$ℝ ∖ {\frac{π}{2} + k π ∣ k \in ℤ}$
Kosekans	$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)}$	$\ln \| \tan (\frac{x}{2}) \| + C$	$ℝ ∖ {k π ∣ k \in ℤ}$
Kotangens	$\cot (x) = \frac{\cos x}{\sin x}$	$\ln \| \sin (x) \| + C$	$ℝ ∖ {k π ∣ k \in ℤ}$
	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$	$\arcsin x + C$	$(- 1, 1)$
	$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$	$\arccos x + C$	$(- 1, 1)$
	$\frac{1}{1 + x^{2}}$	$\arctan x + C$	$ℝ$
	$- \frac{1}{1 + x^{2}}$	$arccot x + C$	$ℝ$
Arcussinus	$\arcsin (x)$	$x \arcsin x + \sqrt{1 - x^{2}} + C$	$(- 1, 1)$
Arcuscosinus	$\arccos (x)$	$x \arccos x - \sqrt{1 - x^{2}} + C$	$(- 1, 1)$
Arcustangens	$\arctan (x)$	$x \arctan x - \frac{1}{2} \ln (1 + x^{2}) + C$	$ℝ$
Arcuscotangens	$arcot (x)$	$x arccot x + \frac{1}{2} \ln (1 + x^{2}) + C$	$ℝ$
Sinus Hyperbolicus	$\sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$	$\cosh x + C$	$ℝ$
Cosinus Hyperbolicus	$\cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$	$\sinh x + C$	$ℝ$
Tangens Hyperbolicus	$\tanh (x) = \frac{\sinh x}{\cosh x}$	$\ln \cosh x + C$	$ℝ$
	$\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$	$\ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) + C$	$ℝ$
	$- \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$	$\ln \| x + \sqrt{x^{2} - 1} \| + C$	$(- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$
	$\frac{1}{1 - x^{2}}$	$\frac{1}{2} \ln (\frac{1 + x}{1 - x}) + C$	$(- 1, 1)$
Areasinus Hyperbolicus	$arsinh (x)$	$x \cdot arsinh (x) - \sqrt{x^{2} + 1} + C$	$ℝ$
AreaCosinus Hyperbolicus	$arcosh (x)$	$x \cdot arcosh (x) - \sqrt{x^{2} - 1} + C$	$(1, \infty)$
Areatangens Hyperbolicus	$artanh (x)$	$x \cdot artanh (x) + \frac{1}{2} \ln (1 - x^{2}) + C$	$(- 1, 1)$

Um die Stammfunktionen der obigen Tabelle zu berechnen, gibt es im Grunde genommen zwei Möglichkeiten. Einerseits kann man durch Umkehrung der Ableitungsregeln die Stammfunktion direkt herleiten. Andererseits ist es auch möglich durch explizites Ableiten der vermuteten Stammfunktionen den Nachweis zu erbringen.