Mathe für Nicht-Freaks: Abbildungsmatrizen

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In diesem Artikel lernen wir, wie wir lineare Abbildungen zwischen beliebigen endlichdimensionalen Vektorräumen mithilfe von Matrizen beschreiben können. Die darstellende Matrix einer solchen linearen Abbildung $f:V\to W$ ist von der Wahl von Basen in $V$ und in $W$ abhängig. Ihre Spalten sind die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren von $V$.

Verallgemeinerung auf abstrakte Vektorräume

Im Artikel zur Hinführung zu Matrizen haben wir gesehen, wie wir eine lineare Abbildung $K^n\to K^m$ durch eine Matrix beschreiben können. Auf diese Weise können wir lineare Abbildungen zwischen $K^n$ und $K^m$ vergleichsweise einfach angeben und klassifizieren. Können wir so eine Beschreibung auch für lineare Abbildungen zwischen allgemeinen Vektorräumen finden?

Formell ausgedrückt, betrachten wir die Frage: Gegeben zwei endlichdimensionale $K$-Vektorräume $V$ und $W$, wie können wir eine lineare Abbildung $f:V\to W$ vollständig beschreiben?

Um diese Frage zu beantworten, können wir versuchen, sie auf den Fall von $K^n$ und $K^m$ zurückzuführen. Im Artikel Isomorphismus haben wir gesehen, dass jeder endlichdimensionale Vektorraum zu einem $K^n$ isomorph ist. Das heißt, es gilt $V\cong K^n$ und $W\cong K^m$. Dabei ist $n=\dim (V)$ und $m=\dim (W)$. Dieser Isomorphismus funktioniert wie folgt: Wir wählen eine geordnete Basis $B=(b_1,\dots ,b_n)$ von $V$. Durch Darstellung eines Vektors in $V$ bzgl. $B$ erhalten wir die Koordinatenabbildung $k_B:V\to K^n$, die $v={\lambda }_1{b}_1+\dots +{\lambda }_n{b}_n\in V$ auf $({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n{)}^T\in K^n$ abbildet. Genauso erhalten wir den Isomorphismus $k_C:W\to K^m$ nach Wahl einer Basis $C$ von $W$. Hierbei ist es wichtig, dass $B$ und $C$ geordnete Basen sind, da wir für unterschiedliche Anordnung der Basisvektoren eine andere Abbildung bekommen würden.

Mithilfe dieser Isomorphismen können wir aus unserer Abbildung $f:V\to W$ eine Abbildung $f^{\prime }:K^n\to K^m$ machen: Wir setzen dafür $f^{\prime }=k_C\circ f\circ k_B^{-1}$. Um diese Konstruktion zu verstehen, können wir uns einmal das folgende Diagramm ansehen:

Verschieben einer linearen Abbildung in den Koordinatenraum

Zu dieser Abbildung $f^{\prime }$ können wir wie im Artikel Hinführung zu Matrizen eine Matrix $M$ zuordnen.

Haben wir damit unser Ziel erreicht? Wenn dem so ist, können wir aus $M$ die Abbildung $f$ rekonstruieren. Aus dem Artikel Hinführung zu Matrizen wissen wir bereits, dass wir mit der induzierten Abbildung aus $M$ die Abbildung $f^{\prime }:K^n\to K^m$ rekonstruieren können. Nun sind $k_B$ und $k_C$ Isomorphismen. Das heißt, wir können die Abbildung $f$ aus $f^{\prime }$ rekonstruieren, indem wir $k_C^{-1}\circ f^{\prime }\circ k_B=k_C^{-1}\circ k_C\circ f\circ k_B^{-1}\circ k_B=f$ bilden.

Also können wir $M$ die zu $f$ zugeordnete Matrix nennen. Wir müssen mit dieser Bezeichnung jedoch vorsichtig sein: Sie hängt von der Wahl der geordneten Basen $B$ von $V$ und $C$ von $W$ ab. Das heißt, wir haben eigentlich mehrere Wege gefunden, um aus $f$ eine Matrix zu konstruieren. Erst nachdem wir die Basen $B$ und $C$ gewählt haben, haben wir einen eindeutigen Weg gefunden, um für $f$ eine Matrix zu finden. Somit sollte die oben konstruierte Matrix $M$ eigentlich "die zu $f$ bezüglich den Basen $B$ und $C$ zugeordnete Matrix" heißen. Passenderweise können wir $M$ mit $M_C^B(f)$ bezeichnen. Durch die Konstruktion füllt diese Matrix genau die untere Zeile im folgenden Diagramm:

Diagramm, das die Abbildungsmatrix charakterisiert

Rechnen mit Abbildungsmatrizen

Berechnung einer Abbildungsmatrix

Zusammenhang der Elemente $b_j,e_j,f(b_j)$ und ${\underset{\_}{a}}_j=(a_{1j},\dots ,a_{mj}{)}^T$.

Wie können wir die zugehörige Matrix zu $f:V\to W$ finden? Also wie können wir die Einträge der Matrix $M_C^B(f)$ konkret berechnen?

Der $j$-te Spaltenvektor der Matrix $M_C^B(f)$ ist gegeben durch $(k_C\circ f\circ k_B^{-1})(e_j)$. Wir wollen also diesen Vektor bestimmen. Es gilt $(k_C\circ f\circ k_B^{-1})(e_j)=k_C(f(k_B^{-1}(e_j)))$. Die definierende Eigenschaft der Koordinatenabbildung $k_B$ ist, dass diese Abbildung den Basisvektor $b_j$ auf $e_j$ abbildet. Deshalb gilt $k_B^{-1}(e_j)=b_j$. Die $j$-te Spalte von $M_C^B(f)$ ist also der Vektor $(k_C(f(b_j))$. Um herauszufinden, wie $k_C$ den Vektor $f(b_j)$ abbildet, müssen wir diesen Vektor in der Basis $C$ darstellen. Es gibt Skalare $a_{1j},a_{2j},\dots ,a_{mj}\in K$, so dass $f(v_j)=\sum _{i=0}^m{a}_{ij}{c}_i$. Dann gilt Vorlage:Einrücken Damit ist der $ij$-te Eintrag von $M_C^B(f)$ als der Eintrag $a_{ij}$ aus der Basisdarstellung $f(b_j)=\sum _{i=0}^m{a}_{ij}{c}_i$ gegeben.

Verwendung der Abbildungsmatrix

Nun wissen wir, wie wir die Abbildungsmatrix von $f$ bezüglich der Basen $B=\{b_1,\dots ,b_n\}$ und $C=\{c_1,\dots ,c_m\}$ berechnen kann. Wozu können wir diese Matrix nutzen?

Mit Hilfe dieser Matrix kann man den Bildvektor $f(v)$ jedes Vektors $v\in V$ berechnen. Dazu stellen wir zunächst $v$ bezüglich der Basis $B$ von $V$ dar, also $v={\lambda }_1{b}_1+{\lambda }_2{b}_2+\cdots +{\lambda }_n{b}_n$. Wir bezeichnen die Einträge der Abbildungsmatrix mit $M_C^B(f)=(a_{ij})$. Dann gilt: Vorlage:Einrücken Wir erhalten also eine Darstellung des Vektors $f(v)=\sum _{i=1}^m{\mu }_i{c}_i$ als Linearkombination der Basisvektoren von $C$, mit Koordinaten Vorlage:Einrücken Mit Hilfe der Matrizenmultiplikation mit einem Vektor ("Zeile mal Spalte") können wir dies auch so ausdrücken: Vorlage:Einrücken Mithilfe der Abbildungsmatrix erhalten wir also aus dem Koordinatenvektor $k_B(v)=({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)$ von $v$ den Koordinatenvektor $k_C(f(v))$ von $f(v)$. Dafür multiplizieren wir $k_B(v)$ von links mit der darstellenden Matrix $M_C^B(f)$: Vorlage:Einrücken Die Gleichung besagt, dass, ausgehend von einem Vektor $v\in V$, im Diagramm zur darstellenden Matrix der rote und der blaue Pfad dasselbe Ergebnis liefern.

Das definierende Diagramm einer Abbildungsmatrix

Anstatt mit einem Vektor $v\in V$ zu beginnen können wir auch mit einem beliebigen Vektor $x=(x_1,\dots ,x_n{)}^T\in K^n$ starten. Dann ist $x$ der Koordinatenvektor von $k_B^{-1}(x)=x_1\cdot b_1+\dots +x_n\cdot b_n=:v$. Ebenso können wir das Produkt $y=M_C^B(f)x\in K^m$ als einen Koordinatenvektor von $k_C^{-1}(y)=y_1\cdot c_1+\dots +y_m\cdot c_m$ auffassen. Aus dem Diagramm wissen wir, dass $y$ der Koordinatenvektor von $f(v)$ ist. Es gilt also Vorlage:Einrücken Hier haben wir benutzt, dass die Koordinatenabbildungen Isomorphismen sind, wir die Pfeile von $k_B$ und $k_C$ im Diagramm also auch umgekehrt laufen können. Die Gleichung besagt, dass der rote und blaue Pfad im folgenden Diagramm dasselbe Ergebnis liefern:

Das definierende Diagramm einer Abbildungsmatrix mit invertierter Koordinatenabbildung

Abbildungsmatrizen und Komposition linearer Abbildungen

Im folgenden Satz zeigen wir, dass die Verknüpfung von linearen Abbildungen der Multiplikation ihrer darstellenden Matrizen entspricht.

Eins zu Eins Korrespondenz zwischen Matrizen und linearen AbbildungenVorlage:Anker

Mit Abbildungsmatrizen können wir nach einer festen Wahl geordneter Basen $B$ und $C$ eine Abbildung $f$ eindeutig eine Matrix $M_C^B(f)$ zuordnen. Das können wir nach der Wahl der Basen mit jeder beliebigen linearen Abbildung $f:V\to W$ machen. Dadurch erhalten wir eine Funktion, die eine Abbildung $f$ auf ihre Abbildungsmatrix $M_C^B(f)$ schickt: Vorlage:Einrücken Bei dieser Formel ist $\mathrm{Hom}(V,W)$, die Menge aller linearer Abbildungen von $V$ nach $W$ und $K^{m\times n}$ ist die Menge aller $m\times n$-Matrizen.

Wie sind wir auf die Zuordnung der Matrix $M_C^B(f)$ zur Abbildung $f$ gekommen? Wir haben zu $f$ mit Hilfe der Basen $B$ und $C$ zuerst eine eindeutige Abbildung $f^{\prime }:K^n\to K^m$ gefunden und danach die zu $f^{\prime }$ zugeordnete Matrix bestimmt. Die Abbildung $f^{\prime }$ ist durch die Koordinatenabbildungen definiert: $f^{\prime }=k_C\circ f\circ k_B^{-1}$. Also haben wir die Zuordnung Vorlage:Einrücken Weil $k_C$ und $k_B$ Bijektionen sind, können wir aus einem $f^{\prime }:K^n\to K^m$ auch ein eindeutiges $f:V\to W$ bekommen, dem $f^{\prime }$ zugeordnet wird. Dafür müssen wir nur $f:=k_C^{-1}\circ f^{\prime }\circ k_B$ setzen.

Also haben wir eine Bijektion zwischen $\mathrm{Hom}(V,W)$ und $\mathrm{Hom}(K^n,K^m)$.

Auch die Zuordnung Vorlage:Einrücken ist eine Bijektion, was wir schon im Artikel Einführung in Matrizen gesehen haben.

Also ist auch $\mathrm{Hom}(V,W)\to K^{m\times n}$ eine Bijektion, weil sie die Verknüpfung der beiden Bijektionen $\mathrm{Hom}(V,W)\to \mathrm{Hom}(K^n,K^m)$ und $\mathrm{Hom}(V,W)\to K^{m\times n}$ ist. Wie sieht aber die Umkehrung der Bijektion $\mathrm{Hom}(V,W)\to K^{m\times n}$ aus?

Die Umkehrabbildung $K^{m\times n}\to \mathrm{Hom}(V,W)$ bildet eine Matrix $A\in K^{m\times n}$ auf eine lineare Abbildung $f:V\to W$ ab, so dass $M_C^B(f)=A$. Seien $B=(b_1,\dots ,b_n)$ und $C=(c_1,\dots ,c_m)$ geordnete Basen von $V$ und $W$ und $A=(a_{ij})$, d.h. $a_{ij}$ ist die $i,j$-te Komponente der Matrix $A$. Wegen $M_C^B(f)=A$ muss gelten Vorlage:Einrücken Wegen dem Prinzip der linearen Fortsetzung ist $f$ dadurch schon komplett definiert. Wir sehen hier, dass dass die $a_{ij}$ das Gewicht von $c_i$ in $f(b_j)$ ist. Intuitiv speichert die $j$-ten Spalte der Abbildungsmatrix wieder das Bild des $j$-ten Basisvektors, also $f(b_j)$.

Beispiele

Wir berechnen die darstellende Matrix einer konkreten linearen Abbildung ${ℝ}^3\to {ℝ}^2$ bzgl. der Standardbasis.

Betrachten wir nun dieselbe lineare Abbildung, aber eine andere Basis im Bildbereich.

Wir sehen aus den beiden vorherigen Beispielen, dass die darstellende Matrix einer linearen Abbildung von der gewählten Basis abhängt. Es ist wichtig, dass wir geordnete Basen betrachten: Die darstellende Matrix hängt auch von der Reihenfolge der Basisvektoren ab.

Umgekehrt können aber auch verschiedene Abbildungen die gleiche Abbildungsmatrix haben, wenn man sie zu verschiedenen Basen darstellt:

Betrachten wir nun noch ein etwas abstrakteres Beispiel:

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