Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum: Summe von Unterräumen

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}} In diesem Artikel definieren wir die Summe von zwei Untervektorräumen. Diese ist ein Untervektorraum, der die beiden Untervektorräume enthält. Wir können uns die Summe als eine strukturerhaltende Vereinigung vorstellen.

Herleitung der Summe

Wir haben zwei Untervektorräume $U$ und $W$ von einem Vektorraum $V$. Jetzt wollen wir diese Untervektorräume zu einem größeren Untervektorraum zusammenfassen, der $U$ und $W$ enthält. Ein erster Ansatz könnte sein, $U\cup W$ zu betrachten. Jedoch haben wir bereits im Artikel Vereinigung und Durchschnitt von Untervektorräumen gesehen, dass die Vereinigung im Allgemeinen kein Untervektorraum ist.

Warum ist das so? Für $u\in U$ und $w\in W$ ist $u+w$ nicht immer in $U\cup W$, wie man an diesem Beispiel sieht.

Vereinigung von zwei Geraden im zweidimensionalen reellen Raum

Um das Problem zu lösen, fügen wir alle Summen der Form $u+w$ mit $u\in U$ und $w\in W$ zu der Vereinigung der beiden Untervektorräume $U$ und $W$ hinzu. Wir betrachten also $U\cup W\cup \{u+w\mid u\in U,w\in W\}$. Dieser Ausdruck scheint noch sehr kompliziert zu sein, aber wir können ihn zu $\{u+w\mid u\in U,w\in W\}$ vereinfachen. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage Wir nennen diese Konstrukt Summe von $U$ und $W$, weil es aus den Summen der Vektoren aus $U$ und $W$ besteht. Später zeigen wir, dass es sich dabei um einen Untervektorraum handelt.

Die Summe ist ein Untervektorraum

Wir müssen noch nachweisen, dass $U+W$ ein Untervektorraum ist. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Beispiele

Summe von zwei Geraden im ℝ² Vorlage:Anker

Die Geraden $U$ und $W$

Wir betrachten die folgenden beiden Geraden im ${ℝ}^2$: Vorlage:Einrücken Also ist $U$ die $x$-Achse und $W$ die Gerade, die durch den Ursprung und den Punkt $(1,1)$ verläuft. Was ist die Summe $U+W$?

Wegen der Definition $U+W=\{u+w\mid u\in U,w\in W\}$ können wir eine Mengenbeschreibung von $U+W$ berechnen: Vorlage:Einrücken

Jeden Vektor in ${ℝ}^2$ können wir schreiben als $(x+y,y{)}^T$ mit passenden $x,y\in ℝ$. Konkret können wir für jeden Vektor $(a,b{)}^T\in {ℝ}^2$ Skalare $x$ und $y\in ℝ$ finden, so dass $(a,b)=(x+y,y)$, nämlich $x:=a-b$ und $y:=b$. Also gilt $U+W={ℝ}^2$.

Intuitiv kann man sofort sehen, dass $U+W={ℝ}^2$. Denn $U+W$ ist ein Untervektorraum von ${ℝ}^2$, der die Geraden $U$ und $W$ enthält. Die einzigen Untervektorräume von ${ℝ}^2$ sind der Nullraum, Geraden, die durch den Ursprung verlaufen, und ${ℝ}^2$. Da die Geraden $U$ und $W$ nicht aufeinander fallen, sondern verschieden sind, kann $U+W$ keine Gerade sein. Deshalb muss $U+W={ℝ}^2$ gelten.

Summe von zwei Geraden im ℝ³

Die Geraden $U$ und $W$

Wir haben folgende Geraden im ${ℝ}^3$: Vorlage:Einrücken Dann ist $U$ eine Gerade im ${ℝ}^3$, die durch den Ursprung und den Punkt $(1,1,2)$ verläuft und $W$ ist eine Gerade, die durch den Ursprung und $(3,0,5)$ verläuft. Wir suchen die Summe $U+W=\{u+w\mid u\in U,w\in W\}$.

Also ist $U+W$ eine Ebene, die von den Vektoren $(1,1,2{)}^T$ und $(3,0,5{)}^T$ aufgespannt wird.

Summe von zwei Ebenen im ℝ³ Vorlage:Anker

Die Ebenen $U_1$ und $W$

Wir betrachten die folgenden zwei Ebenen: Vorlage:Einrücken

Die Ebenen sind nicht gleich. Das können wir z.B. dadurch sehen, dass der Vektor $(2,1,0{)}^T$ in $U_1$ liegt, aber nicht in $W$. Deshalb sollten die beiden Ebenen intuitiv den ganzen Raum ${ℝ}^3$ aufspannen. Das heißt, wir vermuten, dass $U_1+W={ℝ}^3$.

Wir versuchen, diese Vermutung zu beweisen. Dafür müssen wir zeigen, dass jeder Vektor $(a,b,c{)}^T\in {ℝ}^3$ in der Summe $U_1+W=\{u+w\mid u\in U_1,w\in W\}$ liegt. Wir müssen also für $(a,b,c{)}^T$ Vektoren $u\in U_1$ und $w\in W$ finden, sodass $(a,b,c{)}^T=u+w$. Dann gilt $(a,b,c{)}^T\in U_1+W$. Hier können wir die Definitionen von $U_1$ und $W$ benutzen: Jeder Vektor $u\in U_1$ lässt sich schreiben als $(2x_1,x_1,y_1{)}^T$ mit $x_1,y_1\in ℝ$. Ähnlich lässt sich jeder Vektor $w\in W$ als $(0,2x_2,-y_2{)}^T$ schreiben mit $x_2,y_2\in ℝ$. Also wollen wir für den Vektor $(a,b,c{)}^T\in {ℝ}^3$ Zahlen $x_1,y_1,x_2,y_2\in ℝ$ finden, sodass Vorlage:Einrücken Das können wir umformen zu Vorlage:Einrücken Wie können wir $x_1,y_1,x_2,y_2\in ℝ$ wählen, sodass obige Gleichung stimmt? Mit Vorlage:Einrücken stimmt die obige Gleichung.

Zusammenfassend aufgeschrieben gilt für jeden beliebigen Vektor $(a,b,c{)}^T\in {ℝ}^3$: Vorlage:Einrücken

Also gilt tatsächlich $U_1+W={ℝ}^3$, d.h. die beiden Ebenen spannen zusammen den ganzen ${ℝ}^3$ auf.

Absorptionseigenschaft der Summe

Die Gerade $U_2$ und die Ebene $W$

Wir haben uns oben schon ein paar Beispiele zu Summen im Raum ${ℝ}^3$ angesehen. Nun wollen wir ein weiteres Beispiel im ${ℝ}^3$ betrachten. Seien Vorlage:Einrücken Dann ist $U_2$ die Gerade, die durch den Ursprung und durch den Punkt $(0,1,2)$ verläuft. Der Unterraum $W$ ist die $y,z$-Ebene.

Was ist die Summe der Untervektorräume $U_2+W$? Die Gerade $U_2$ liegt in der $y,z$-Ebene, also in $W$. Die Summe ist intuitiv der Untervektorraum, der aus $U_2$ und $W$ besteht. Da $U_2$ schon in $W$ enthalten ist, sollte die Summe einfach $W$ sein, also $U_2+W=W$. Dass ist auch tatsächlich der Fall, wie die untenstehende Aufgabe zeigt.

Intuitiv sollte das auch allgemein gelten. Seien $U$ und $W$ zwei Untervektorräume eines beliebigen Vektorraums $V$. Wenn $U$ in $W$ liegt, d.h. $U\subseteq W$, dann sollte die Summe $U+W$ einfach $W$ ergeben. Das nennt man Absorptionseigenschaft. Wir beweisen sie in folgender Aufgabe.

Alternative Definitionen

Über den Schnitt

Wir haben einen Untervektorraum $U+W$ von $V$ gebaut, der die beiden Untervektorräume $U$ und $W$ enthält. Da wir bei unserer Konstruktion von $U+W$ nur das nötigste hinzugefügt haben, sollte $U+W$ der kleinste Untervektorraum sein, der sowohl $U$ als auch $W$ enthält.

Wir können den kleinsten Untervektorraum, der $U$ und $W$ enthält, auch anders beschreiben: Wir betrachten zunächst alle Untervektorräume, die $U$ und $W$ enthalten und bilden dann den Schnitt über diese Untervektorräume. Dieser Schnitt enthält immer noch $U$ und $W$ und ist zudem ein Untervektorraum, da der Schnitt von beliebig vielen Untervektorräumen wieder ein Untervektorraum ist. Intuitiv sollte es keinen kleineren Untervektorraum mit dieser Eigenschaft geben. Also erhalten wir auch so den kleinsten Untervektorraum, der sowohl $U$ als auch $W$ enthält. Nach diesen Überlegungen sollte also gelten, dass $U+W$ gleich dem Schnitt über allen Untervektorräumen ist, die $U$ und $W$ enthalten. Das wollen wir jetzt beweisen: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz Daraus erhalten wir die folgende Definition:

Über den Spann

Wir können den kleinsten Untervektorraum, der $U$ und $W$ bzw. $U\cup W$ enthält, noch auf eine weitere Weise beschreiben. Im Artikel zum Spann haben wir nämlich gesehen, dass für eine gegebene Teilmenge $M$ von $V$ der Spann von $M$ der kleinste Untervektorraum ist, der $M$ enthält. Also ist $\mathrm{span}(U\cup W)$ der kleinste Untervektorraum, der $U$ und $W$ enthält. Daraus schließen wir, dass auch dieser gleich der Summe $U+W$ sein muss. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Dimensionsformel Vorlage:Anker

Nachdem wir nun wissen, was die Summe von Untervektorräumen $U$ und $W$ eines Vektorraums $V$ ist, können wir uns fragen, wie groß die Summe $U+W$ ist. Die Summe von Untervektorräumen ist das Vektorraumanalogon zur Vereinigung von Mengen. Für zwei Mengen $X$ und $Y$ hat die Vereinigung $X\cup Y$ maximal $|X|+|Y|$ Elemente. Wenn $X$ und $Y$ Elemente teilen, also einen nichtleeren Schnitt haben, hat $X\cup Y$ weniger als $|X|+|Y|$ Elemente, denn wir zählen die Elemente aus $X\cap Y$ doppelt. Damit haben wir die Formel Vorlage:Einrücken Um diese Formel auf Vektorräume zu übertragen, brauchen wir den richtigen Begriff von Größe eines Vektorraums, also das Analogon für die Kardinalität einer Menge für Vektorräume. Dies ist genau die Idee der Dimension eines Vektorraums. Daher sollte, wenn eine analoge Formel für Vektorräume gilt, die folgendes stimmen: Vorlage:Einrücken Wenn $\dim (U\cap W)$ endlich ist, können wir diese Formel zu einer Formel umstellen, die $\dim (U+W)$ berechnet, nämlich Vorlage:Einrücken

Bevor wir unsere Vermutung beweisen, werden wir sie noch an ein paar Beispielen überprüfen:

Die Geraden $U$ und $W$

Wir betrachten nochmal die zwei geraden von oben. Das heißt, wir betrachten Vorlage:Einrücken Wir haben oben schon berechnet, dass $U+W={ℝ}^2$. Das passt zu unserer Vermutung: Der ${ℝ}^2$ ist zweidimensional, $U$ und $W$ sind eindimensional und der Schnitt $U\cap W=\{0\}$ ist null dimensional.

Die Ebenen $U_1$ und $W$

Wenn wir das Beispiel mit den zwei Ebenen von oben nochmal betrachten, sehen wir folgendes: Wir haben die Ebenen Vorlage:Einrücken betrachtet. Oben haben wir bereits berechnet, dass $U_1+W={ℝ}^3$ und das Bild zeigt, dass sich $U_1$ und $W$ in einer Gerade schneiden. Damit ist die Dimension von $U_1+W$ drei, die Dimension von $U_1$ und $W$ jeweils zwei und die Dimenstion von $U_1\cap W$ gerade eins. Somit stimmt unsere vermutete Dimensionsformel auch in diesem Fall.

Als letztes Beispiel wollen wir in $V={ℝ}^3$ die Untervektorräume $U={ℝ}^3$ und Vorlage:Einrücken betrachten. Der Untervektorraum $W$ ist eine Gerade, das heißt, wir haben $\dim (W)=1$ und wir haben $\dim (U)=\dim ({ℝ}^3==3$. Weil $U\subseteq W$ gilt, liefert uns die Absorbtionseigenschaft der Summe, dass $U+W=U={ℝ}^3$ gilt. Aus dem gleichen Grund ist auch $U\cap W=W$. Somit haben wir Vorlage:Einrücken Also stimmt unsere vermutete Dimensionsformel in diesem Fall.

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