Mathe für Nicht-Freaks: Aussageform und Substitution

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Du hast dich vielleicht schon darüber gewundert, dass wir manchmal den Begriff „Aussage“ und manchmal den Begriff „Aussageform“ benutzen. Der Unterschied liegt darin, dass Aussageformen freie Variablen besitzen, während in Aussagen keine freien Variablen vorkommen. Doch was sind freie Variablen?

Freie und gebundene Variablen Vorlage:Anker

Variablen sind Platzhalter (Leerstellen) in einem sprachlichen Ausdruck, die für Elemente der Grundmenge stehen. Sie können durch Quantoren oder andere Operatoren gebunden werden. Die Bedeutung der gebundenen Variablen ist an den Operator gekoppelt, in dessen Wirkungsbereich sie liegen. So besagt $\mathrm{\forall }x:A(x)$, dass die Aussage $A(x)$ zutrifft, egal welches Element aus dem Grundbereich für $x$ genommen wird. $\mathrm{\exists }x:A(x)$ dagegen heißt nur, dass es wenigstens ein Element aus dem Grundbereich gibt, für das $A(x)$ zutrifft. Eine Variable, die nicht gebunden ist, heißt frei.

So ist die Variable $x$ im Ausdruck $x\ge 23$ frei und im Ausdruck $\mathrm{\forall }x:x\ge 23$ durch den Allquantor $\mathrm{\forall }$ gebunden. Aber nicht nur Quantoren können Variablen binden. Auch durch Mengenausdrücke der Form $\{x:\dots \}$ oder durch Summen $\sum _{k=\dots }^{\dots }\dots$ können Variablen gebunden werden. Solltest du Summen oder Mengen noch nicht kennen: Kein Problem. Diese werden wir später behandeln. Generell gilt:

Hier noch einige Beispiele:

Terme

Variablen sind Platzhalter für Elemente aus einem Grundbereich. Grundbereiche in der Mathematik sind häufig die Zahlbereiche $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $ℝ$ oder $ℂ$. Es kann aber auch eine ganz andere Menge der Grundbereich sein, beispielsweise die Menge aller Menschen, Autos oder Musikinstrumente. Ausdrücke, die Elemente aus dem Grundbereich bezeichnen, werden Terme genannt. Mit Hilfe von Operationssymbolen (auch Verknüpfungen genannt) wie $+$, $-$ und $\cdot$ werden aus Termen weitere Terme gebildet. Zu einem Operationssymbol gehört eine natürliche Zahl als Stellenzahl, die angibt, wie viele Terme zu einem neuen Term verknüpft werden. Die Terme, die verknüpft werden, heißen Argumente, das Ergebnis der Verknüpfung Resultat.

Bei 2-stelligen Operationssymbolen werden die Klammern weggelassen, wenn sie nicht erforderlich sind.

Terme treten oftmals als Teile von Aussagen auf.

Prädikate

Von Verknüpfungen sind Prädikate (auch Relationssymbole genannt) zu unterscheiden. Prädikate haben wie Verknüpfungen eine Stellenzahl. Die Argumente von Prädikaten sind ebenfalls Terme, aber das Resultat ist eine Aussage oder eine Aussageform. Beispiele für Prädikate sind größer-gleich ($\ge$) und die Teilmengenbeziehung ($\subseteq$).

Aussageformen, Formeln

Mit Hilfe der Begriffe freie und gebundene Variable können wir definieren, was Aussageformen sind:

Als Oberbegriff von Aussagen und Aussageformen ist die Bezeichnung Formel üblich:

Substitution von Termen für Variablen

Ersetzt man in einem Ausdruck eine freie Variable durch einen Term, so nennt man diesen Vorgang Substitution. Das kommt beispielsweise beim Lösen von Gleichungssystemen vor. Beispiel:

1. $x+\frac{1}{2}y=7$
2. $x-y=1$

Aus der 2. Gleichung erhalten wir $x=1+y$, was wir als Substitution $x:=1+y$ nutzen können. Daher ersetzen wir in Gleichung 1. die Variable $x$ durch den Term $1+y$ und erhalten so: $1+y+\frac{1}{2}y=7$, woraus sich schließlich $y=4$ ergibt.

Beim Substituieren musst du darauf achten, dass du nur und wirklich nur freie Variablen durch den entsprechenden Term ersetzt. Gebundene und quantifizierte Variablen müssen unangetastet bleiben. Beispiel:

Beachte, dass die gebundene Variable $x$ nicht verändert wurde. Wenn im Substitutionsterm freie Variablen vorkommen, die in der Aussageform bereits gebunden sind, dann müssen diese gebundenen Variablen umbenannt werden. Es dürfen nämlich durch die Substitution keine Variablen gebunden werden, die vorher frei waren:

Im obigen Beispiel wird durch die Substitution $x:=y\cdot 42$ die freie Variable $y$ neu eingeführt. Jedoch ist in der ursprünglichen Aussageform bereits $y$ durch den Existenzquantor gebunden. Deswegen muss die gebundene Variable $y$ umbenannt werden (hier in die Variable $z$). Würde man dies nicht tun, dann würde die freie Variable $y$ ebenfalls gebunden werden, was bei einer Substitution nicht erlaubt ist.

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