Mathe für Nicht-Freaks: Aufzählende und beschreibende Mengenschreibweise

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Es gibt zwei mögliche Schreibweisen, um Mengen zu definieren: die aufzählende Mengenschreibweise und die beschreibende Mengenschreibweise.

Aufzählende Mengenschreibweise Vorlage:Anker

Grundlegende Erklärung

Datei:Die aufzählende Mengenschreibweise.webm

Beispiel einer aufzählenden Mengenschreibweise

Bei der aufzählenden Mengenschreibweise werden alle Objekte aufgeschrieben, die zu einer Menge zusammengefasst werden sollen. Dabei werden diese Objekte in geschweifte Klammern $\{\}$ gesetzt und durch Kommata , oder Semikolons ; getrennt. Semikolons bieten sich besonders dann an, wenn in der Menge Kommazahlen als Elemente vorkommen. Die obige Beispielmenge $B$ bestehend aus der Trommel, der Spielkarte, der Digitalkamera und der Gitarre können wir zum Beispiel so schreiben:

Weitere Beispiele der aufzählenden Mengenschreibweise sind:

Besonderheiten der aufzählenden Mengenschreibweise

Bei der aufzählenden Mengenschreibweise spielt die Reihenfolge, in der die Elemente der Menge aufgezählt werden, keine Rolle. Auch ist es unerheblich, wie oft ein Objekt aufgeschrieben wird. Das mehrfache Aufschreiben eines Objekts ist nämlich gleichbedeutend mit einer einfachen Nennung:

Diese Tatsachen sind keine Konventionen, sondern folgen bereits zwingend aus Prinzipien, die wir bereits über Mengen kennen gelernt haben. Hierzu ein paar Verständnisfragen, die zugegebenermaßen nicht leicht zu beantworten sind:

Aufzählende Mengenschreibweise bei unendlichen Mengen

Datei:Die aufzählende Mengenschreibweise bei unendlichen Mengen.webm Der Nachteil der aufzählenden Mengenschreibweise ist, dass mit ihr nur Mengen mit einer endlichen Anzahl an Elementen eindeutig definiert werden können. Möchte man mit der aufzählenden Mengenschreibweise eine unendliche Menge definieren, so muss man zwangsläufig Elemente auslassen. Der Leser wird dann dazu aufgefordert, die Aufzählung der Elemente in Gedanken fortzuführen. So könnte man für die Menge $\mathbb{Z}$ der ganzen Zahlen schreiben:

Jedoch ist die aufzählende Schreibweise für unendliche Mengen nicht eindeutig. Insbesondere ist dann die aufzählende Mengenschreibweise problematisch, wenn zu wenig Elemente angegeben sind, als dass alle Leser intuitiv auf dieselbe Menge schließen. Dies illustriert folgendes Beispiel:

Beschreibende Mengenschreibweise Vorlage:Anker Vorlage:Anker

Erklärung und Beispiele

Datei:Die beschreibende Mengenschreibweise.webm Durch die beschreibende Mengenschreibweise wird eine Menge aller Objekte definiert, die eine bestimmte Eigenschaft $A(x)$ besitzen. Dabei ist $A(x)$ eine Aussageform mit einer freien Variablen (in diesem Fall $x$). Man schreibt $M=\{x|A(x)\}$ und meint damit die Menge $M$ aller Objekte $x$, die die Eigenschaft $A(x)$ erfüllen. Es gilt das sogenannte Abstraktionsprinzip:

Anstatt eines senkrechten Striches wird oft auch ein Doppelpunkt verwendet. So kann auch $\{x:A(x)\}$ für die Menge $M$ geschrieben werden. Die Aussprache von $\{x|A(x)\}$ lautet: „Menge aller $x$ mit $A(x)$“. Es folgen einige Beispiele:

Menge	Formel	Formel mit Aussprache
Die Menge aller reellen Zahlen zwischen $-3$ und $5$	$M=\{x|x\in ℝ\wedge -3<x<5\}$	$\underset{\text{M}}{\underbrace{M}}\underset{\text{ist}}{\underbrace{=}}\underset{\text{die Menge }}{\underbrace{\{}}\underset{\text{der }x}{\underbrace{x}}\underset{\text{ für die gilt: }}{\underbrace{|}}\underset{x\text{ ist in }ℝ}{\underbrace{x\in {ℝ}_{}}}\underset{\text{ und }}{\underbrace{\wedge }}\underset{x\text{ ist grösser als -3 und kleiner als 5. }}{\underbrace{-3<x<5}}\}$
Die Menge aller ungeraden natürlichen Zahlen	$F=\{y|\mathrm{\exists }k\in \mathbb{N}:y=2k-1\}$	$\underset{\text{F ist die Menge }}{\underbrace{F=\{}}\underset{\text{aller }y}{\underbrace{y|}}\underset{\text{für die es ein }k\in \mathbb{N}\text{ gibt, sodass }y\text{ gleich }2k-1\text{ ist.}}{\underbrace{\mathrm{\exists }k\in \mathbb{N}:y=2k-1\}}}$
Die Menge aller Quadratzahlen	$G=\{x|\mathrm{\exists }y\in \mathbb{Z}:x=y^2\}$	$\underset{\text{G ist die Menge }}{\underbrace{G=\{}}\underset{\text{aller }x}{\underbrace{x|}}\underset{\text{für die es eine ganze Zahl }y\text{ gibt, sodass }x\text{ ist gleich }{y}^2.}{\underbrace{\mathrm{\exists }y\in \mathbb{Z}:x=y^2\}}}$
Die Menge aller irrationalen Zahlen	$H=\{z|z\in ℝ\wedge z\notin \mathbb{Q}\}$	$\underset{\text{H ist die Menge }}{\underbrace{H=\{}}\underset{\text{aller }z\text{ mit }}{\underbrace{z|}}\underset{z\text{ in }ℝ}{\underbrace{z\in {ℝ}_{}}}\underset{\text{ und }}{\underbrace{\wedge }}\underset{z\text{ nicht in }\mathbb{Q}.}{\underbrace{z\notin \mathbb{Q}\}}}$

Varianten der beschreibenden Mengenschreibweise

Sollen mehrere Bedingungen an die Elemente einer Menge gestellt werden, so ist es üblich diese Bedingungen mit Kommata zu trennen anstatt sie mit der Konjunktion $\wedge$ zu verknüpfen (zur Erinnerung: Die Konjunktion ist das logische „und“). Möchtest du also die Menge $M$ aller Objekte $x$ mit den Eigenschaften $A_1(x)$, $A_2(x)$ bis $A_n(x)$ notieren, so kannst du $M=\{x|A_1(x),A_2(x),\dots ,A_n(x)\}$ aufschreiben. Diese Schreibweise ist gleichbedeutend mit $M=\{x|A_1(x)\wedge A_2(x)\wedge \dots \wedge A_n(x)\}$.

Möchtest du eine Grundmenge explizit angeben, aus der die Elemente der Menge stammen sollen, so kannst du die Schreibweise $M=\{x\in G|A(x)\}$ verwenden. Durch diese Schreibweise wird die Menge aller Objekte $x$ der Menge $G$ definiert, die die Eigenschaft $A(x)$ erfüllen. Diese Schreibweise ist eine Kurzschreibweise für $M=\{x|x\in G\wedge A(x)\}$. Beispielsweise kann die obige Menge $H=\{x|x\in ℝ\wedge x\notin \mathbb{Q}\}$ der Menge der irrationalen Zahlen auch durch die Schreibweise $H=\{x\in ℝ|x\notin \mathbb{Q}\}$ beschrieben werden.

Anders als bei der aufzählenden Mengenschreibweise, ist diese Mengenschreibweise auch für unendliche Mengen eindeutig. Deshalb sollte man für unendliche Mengen vor allem diese Mengenschreibweise verwenden.

Verständnisfragen zur beschreibenden Mengenschreibweise

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