Beweisarchiv: Mengenlehre: Ordinalzahlen: echte Klasse

Satz

Die Klasse $\mathrm{O}\mathrm{n}$ ist eine echte Klasse.

Bemerkung: Wenn man annimmt, dass $\mathrm{O}\mathrm{n}$ eine Menge ist, ergibt sich ein Widerspruch. Dies ist auch als Burali-Forti-Paradoxon bekannt.

Beweis

Verwendet wird

(1) Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element

(2) Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen

(3) Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen

Wegen (2) ist $\mathrm{O}\mathrm{n}$ transitiv. Ferner ist $\mathrm{O}\mathrm{n}$ gemäß (3) durch $\in$ wohlgeordnet. Wäre die Klasse $\mathrm{O}\mathrm{n}$ eine Menge, so wäre $\mathrm{O}\mathrm{n}$ eine Ordinalzahl und es würde $\mathrm{O}\mathrm{n}\in \mathrm{O}\mathrm{n}$ gelten im Widerspruch zu (1). Folglich ist $\mathrm{O}\mathrm{n}$ keine Menge.