Beweisarchiv: Mengenlehre: Ordinalzahlen: Nachfolger

Satz

Ist $x$ eine Ordinalzahl, so ist auch $x\cup \{x\}$ eine Ordinalzahl und zwar die kleinste Ordinalzahl, die $x$ enthält.

Bemerkung: $x\cup \{x\}$ heißt Nachfolger von $x$.

Beweis

Verwendet wird

(1) Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen

(2) Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen

(3) Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element

Setze $y=x\cup \{x\}$. Sei $a\in y$. Dann $a=x$ oder $a\in x$ Daher gilt gewiss (und zwar im zweiten Fall wegen der Transitivität von $x$) auch $a\subseteq x\subseteq y$, d.h. $y$ ist transitiv.

Die Elemente von $y$ sind die Ordinalzahl $x$ sowie die Elemente von $x$, die gemäß (1) ebenfalls Ordinalzahlen sind. Als Menge von Ordinalzahlen ist $y$ laut (2) durch $\in$ wohlgeordnet.

Insgesamt folgt, dass $y$ Ordinalzahl ist.

Sei jetzt $z$ eine Ordinalzahl mit $x\in z$. Per Transitivität folgt auch $x\subseteq z$, also $y\subseteq z$. Wegen (3) gilt $z\notin z$ und erst recht $z\notin y$. Wegen (2) gilt also entweder $y=z$ oder $y\in z$, d. h. $y$ ist die kleinste $x$ als Element enthaltende Ordinalzahl.