Mathe für Nicht-Freaks: Vektorraum: Komplement

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Herleitung

Wir betrachten einen Vektorraum $V$ und haben einen Untervektorraum $U$ von $V$ gegeben. Können wir dann einen Untervektorraum $W$ von $V$ finden, der $U$ zu ganz $V$ ergänzt? "Ergänzen" heißt hier, wenn wir $W$ zu $U$ hinzufügen, erhalten wir ganz $V$.

Um diese Frage beantworten zu können, müssen wir zunächst präzisieren, was wir mit ergänzen bzw. hinzufügen meinen. Wir wollen, dass $U$ und $W$ zusammen $V$ ergeben. Wir haben schon oben gesehen, dass man aus zwei Vektorräumen mithilfe der Summe einen neuen Vektorraum bauen kann, der beide enthält – ähnlich wie bei der Vereinigung von Mengen. Das heißt, wir wollen, dass $U+W=V$ gilt. Eigentlich möchten wir sogar noch mehr: Wir wollen etwas zu $U$ hinzufügen. Das heißt, $W$ sollte nichts von $U$ enthalten. Dieses Konzept haben wir schon im Artikel zur inneren direkten Summe kennengelernt: Wir wollen, dass $U$ und $W$ eine innere direkte Summe bilden. Also soll $U\oplus W=V$ gelten.

Zusammengefasst suchen wir einen Untervektorraum $W$ von $V$ für den $U\oplus W=V$ gilt. Wenn man $V$ als direkte Summe von Untervektorräumen schreibt, nennt man das auch eine Zerlegung von $V$. Denn wir zerlegen $V$ mithilfe der direkten Summe in „kleinere“ Teile.

Existenz und Eindeutigkeit

Existenz Vorlage:Anker

Angenommen wir haben $V$ und einen Unterraum $U$ gegeben. Wie finden wir einen Unterraum $W$ von $V$, sodass $U\oplus W=V$ gilt? Sei zum Beispiel $V={ℝ}^2$ und der Unterraum $U$ die erste Winkelhalbierende. Nach dem Satz über die Basis einer direkten Summe gilt: Wenn $U\oplus W=V$ gilt, dann ergeben eine Basis $B_U$ von $U$ zusammen mit einer Basis $B_W$ von $W$ eine Basis von $V$. Wir wählen also zuerst eine Basis $B_U$ von $U$: Zum Beispiel können wir Vorlage:Einrücken wählen. Diese können wir nach dem Basisergänzungssatz zu einer Basis $B_V$ von $V$ ergänzen, indem wir einen Vektor aus ${ℝ}^2$ hinzunehmen, der nicht auf der Geraden $U$ liegt: Vorlage:Einrücken Wenn wir $B_W=B_V\setminus B_U$ als die Menge der neu hinzugefügten Basisvektoren definieren und $W=\mathrm{span}(B_W)$, dann sollte $V=U\oplus W$ gelten. In unserem Beispiel erhalten wir für $W$ die $y$-Achse Vorlage:Einrücken Anschaulich sehen wir, dass die Summe direkt ist, weil sie die Unterräume nur in $\{0\}$ schneiden und zusammen den ganzen Vektorraum ergeben.

Wir beweisen jetzt, dass diese Konstruktion über den Basisergänzungssatz immer ein Komplement von einem gegebenen Unterraum eines Vektorraums liefert:

Komplemente sind nicht eindeutig Vorlage:Anker

Ist das Komplement $W$, das wir im letzten Abschnitt konstruiert haben, eindeutig? Um das Komplement zu definieren, haben wir den Basisergänzugnssatz verwendet. Nun wissen wir, dass Basen im Allgemeinen nicht eindeutig sind. Daher könnten wir eine Basis von $U$ auch zu einer anderen Basis von $V$ ergänzen und diese könnte einen anderen Untervektorraum $W$ als Komplement liefern. Das wollen wir jetzt an einem Beispiel probieren:

Wir betrachten dafür wieder das Beispiel aus dem letzten Abschnitt. Das heißt, wir betrachten $V={ℝ}^2$ und $U$ die erste Winkelhalbierende. Wir wissen schon, dass Vorlage:Einrücken eine Basis von $U$ ist und dass wir $B_U$ durch Hinzufügen des Vektors $(0,1{)}^T$ zu einer Basis von $V$ ergänzen können. Damit haben wir gesehen, dass $W=\mathrm{span}\{(0,1{)}^T\}$ ein Komplement von $U$ in $V$ ist. Ein anderer Vektor, der nicht in $U$ liegt, ist $(1,0{)}^T$. Damit können wir $B_U$ auch zur Basis Vorlage:Einrücken ergänzen und $W^{\prime }=\mathrm{span}\{(1,0{)}^T\}$ ist auch ein Komplement von $U$ in $V$. Damit haben wir zwei Komplemente gefunden: $W$ und $W^{\prime }$. Diese Vektorräume sind die Koordinatenachsen von $V={ℝ}^2$ und damit gilt $W\ne W^{\prime }$. Das heißt, $U$ hat kein eindeutiges Komplement in $V$ und Komplemente sind nicht eindeutig.

Beispiele und Aufgaben

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