Formelsammlung Mathematik: Trigonometrie

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Formeln aus der Trigonometrie der Ebene.

Allgemeingültige Formeln befinden sich in den Abschnitten Winkelfunktionen und Arkusfunktionen.

Es werden die folgenden Bezeichnungen verwendet: Das Dreieck ABC habe die Seiten $a=\overline{BC},b=\overline{CA},c=\overline{AB}$, die Winkel $\alpha ,\beta ,\gamma$ bei den Ecken A, B und C. Seien $s_a,s_b,s_c$ die Seitenhalbierenden, $w_a,w_b,w_c$ die Winkelhalbierenden, $h_a,h_b,h_c$ die Höhen, R der Umkreisradius, $\rho$ der Inkreisradius und ${\rho }_a,{\rho }_b,{\rho }_c$ die Ankreisradien (und zwar die Radien der Ankreise, die den Ecken A, B bzw. C gegenüberliegen) des Dreiecks ABC. Die Variable s steht für den halben Umfang des Dreiecks: $s=(a+b+c)/2$. Schließlich wird die Fläche des Dreiecks ABC mit A bezeichnet.

Winkelsumme

$\alpha +\beta +\gamma =\pi (=180^{\circ })$.

Sinussatz

$\frac{a}{b}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta },\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R,a:b:c=\sin \alpha :\sin \beta :\sin \gamma$ (Verhältnisgleichung)

Siehe auch: Sinussatz

Kosinussatz

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha ,\cos \alpha =\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},a^2+bc\cos \alpha =\frac{a^2+b^2+c^2}{2}$

Siehe auch: Kosinussatz

Projektionssatz

$a=b\cos \gamma +c\cos \beta$

Mollweidesche Formeln

$\frac{b+c}{a}=\frac{\cos \frac{\beta -\gamma }{2}}{\sin \frac{\alpha }{2}},\frac{b-c}{a}=\frac{\sin \frac{\beta -\gamma }{2}}{\cos \frac{\alpha }{2}}$

Tangenssatz

$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\tan \frac{\alpha +\beta }{2}}{\tan \frac{\alpha -\beta }{2}}=\frac{\cot \frac{\gamma }{2}}{\tan \frac{\alpha -\beta }{2}}$

Siehe auch: Tangenssatz

Formeln mit dem halben Umfang

$s-a=\frac{b+c-a}{2},(s-b)+(s-c)=a,(s-a)+(s-b)+(s-c)=s$ $\sin \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}},\cos \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}},\tan \frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ $s=4R\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2},s-a=4R\cos \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}$

Flächeninhalt und Umkreisradius

Heronsche Formel: $A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}$ $A=\frac{1}{4}\sqrt{2(b^2{c}^2+c^2{a}^2+a^2{b}^2)-(a^4+b^4+c^4)}$

$A=\frac{1}{2}bc\sin \alpha$

$A=\frac{1}{2}a{h}_a$, wobei h_a die Höhe auf der Seite BC ist.

$A=2R^2\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

$A=\frac{abc}{4R}$

$A=\rho s={\rho }_a(s-a)$

$A=\sqrt{\rho {\rho }_a{\rho }_b{\rho }_c}$

$a=2R\sin \alpha$

$R=\frac{abc}{4A}$

In- und Ankreisradien

$\rho =(s-a)\tan \frac{\alpha }{2}=(s-b)\tan \frac{\beta }{2}=(s-c)\tan \frac{\gamma }{2}$

$\rho =4R\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}=s\tan \frac{\alpha }{2}\tan \frac{\beta }{2}\tan \frac{\gamma }{2}$

$\rho =R(\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1)$

$\rho =\frac{A}{s}=\frac{abc}{4Rs}$

$\rho =\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}{a+b+c}}$

$\rho =\frac{a}{\cot \frac{\beta }{2}+\cot \frac{\gamma }{2}}$

Chapple-Euler-Ungleichung: $2\rho \le R$; Gleichheit tritt nur dann ein, wenn das Dreieck ABC gleichseitig ist.

${\rho }_a=s\tan \frac{\alpha }{2}$

${\rho }_a=4R\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}=(s-a)\tan \frac{\alpha }{2}\cot \frac{\beta }{2}\cot \frac{\gamma }{2}$

${\rho }_a=R(-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma +1)$

${\rho }_a=\frac{A}{s-a}=\frac{abc}{4R(s-a)}$

${\rho }_a=\sqrt{\frac{s(s-b)(s-c)}{s-a}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(a+b+c)(c+a-b)(a+b-c)}{b+c-a}}$

$\frac{1}{\rho }=\frac{1}{{\rho }_a}+\frac{1}{{\rho }_b}+\frac{1}{{\rho }_c}$

Höhen

$h_a=b\sin \gamma =c\sin \beta =\frac{2A}{a}=2R\sin \beta \sin \gamma$

$h_a=\frac{a}{\cot \beta +\cot \gamma }$

$\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{1}{\rho }=\frac{1}{{\rho }_a}+\frac{1}{{\rho }_b}+\frac{1}{{\rho }_c}$

Ist $\alpha =\frac{\pi }{2}(=90^{\circ })$ dann gilt $h_a=\frac{bc}{a}$

Seitenhalbierende

$s_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+c^2+2bc\cos \alpha }=\sqrt{\frac{a^2}{4}+bc\cos \alpha }$

$s_a^2+s_b^2+s_c^2=\frac{3}{4}(a^2+b^2+c^2)$

Winkelhalbierende

$w_{\alpha }=\frac{2bc\cos \frac{\alpha }{2}}{b+c}=\frac{2A}{a\cos \frac{\beta -\gamma }{2}}$

Weitere Formeln

Die folgenden Formeln folgen nach längeren Termumformungen aus α + β + γ = 180°, gelten also allgemein für drei beliebige Winkel α, β und γ mit der Eigenschaft α + β + γ = 180°, solange die in den Formeln vorkommenden Funktionen wohldefiniert sind (letzteres betrifft nur die Formeln, in denen Tangens und Kotangens vorkommen).

$\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma =\tan \alpha \cdot \tan \beta \cdot \tan \gamma$

$\cot \beta \cdot \cot \gamma +\cot \gamma \cdot \cot \alpha +\cot \alpha \cdot \cot \beta =1$

$\cot \frac{\alpha }{2}+\cot \frac{\beta }{2}+\cot \frac{\gamma }{2}=\cot \frac{\alpha }{2}\cdot \cot \frac{\beta }{2}\cdot \cot \frac{\gamma }{2}$

$\tan \frac{\beta }{2}\tan \frac{\gamma }{2}+\tan \frac{\gamma }{2}\tan \frac{\alpha }{2}+\tan \frac{\alpha }{2}\tan \frac{\beta }{2}=1$

$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}$

$-\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}$

$\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin \frac{\alpha }{2}\sin \frac{\beta }{2}\sin \frac{\gamma }{2}+1$

$-\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\beta }{2}\cos \frac{\gamma }{2}-1$

$\sin \left(2\alpha \right)+\sin \left(2\beta \right)+\sin \left(2\gamma \right)=4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$

$-\sin \left(2\alpha \right)+\sin \left(2\beta \right)+\sin \left(2\gamma \right)=4\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma$

$\cos \left(2\alpha \right)+\cos \left(2\beta \right)+\cos \left(2\gamma \right)=-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1$

$-\cos \left(2\alpha \right)+\cos \left(2\beta \right)+\cos \left(2\gamma \right)=-4\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +1$

${\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta +{\sin }^2\gamma =2\cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta \cdot \cos \gamma +2$

$-{\sin }^2\alpha +{\sin }^2\beta +{\sin }^2\gamma =2\cdot \cos \alpha \cdot \sin \beta \cdot \sin \gamma$

${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =-2\cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta \cdot \cos \gamma +1$

$-{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =-2\cdot \cos \alpha \cdot \sin \beta \cdot \sin \gamma +1$

$-{\sin }^2\left(2\alpha \right)+{\sin }^2\left(2\beta \right)+{\sin }^2\left(2\gamma \right)=-2\cos \left(2\alpha \right)\sin \left(2\beta \right)\sin \left(2\gamma \right)$

$-{\cos }^2\left(2\alpha \right)+{\cos }^2\left(2\beta \right)+{\cos }^2\left(2\gamma \right)=2\cos \left(2\alpha \right)\sin \left(2\beta \right)\sin \left(2\gamma \right)+1$