Formelsammlung Mathematik: Winkelfunktionen

Graphen

Symmetrien

Punktsymmetrie	Achsensymmetrie
$\begin{array}{cc}\sin (-x)& =-\sin (x),\\ \tan (-x)& =-\tan (x),\\ \cot (-x)& =-\cot (x),\\ \csc (-x)& =-\csc (x)\end{array}$	$\begin{array}{cc}\cos (-x)& =\cos (x),\\ \sec (-x)& =\sec (x)\end{array}$

Definition der Winkel- und Hyperbelfunktionen durch die e-Funktion

$\sin (z)=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}{2\mathrm{i}}$	$\sinh (z)=\frac{{\mathrm{e}}^z-{\mathrm{e}}^{-z}}{2}$	$\sin (\mathrm{i}z)=\mathrm{i}\sinh (z)$	$\sinh (\mathrm{i}z)=\mathrm{i}\sin (z)$
$\cos (z)=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}{2}$	$\cosh (z)=\frac{{\mathrm{e}}^z+{\mathrm{e}}^{-z}}{2}$	$\cos (\mathrm{i}z)=\cosh (z)$	$\cosh (\mathrm{i}z)=\cos (z)$
$\tan (z)=\frac{1}{\mathrm{i}}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}$	$\tanh (z)=\frac{{\mathrm{e}}^z-{\mathrm{e}}^{-z}}{{\mathrm{e}}^z+{\mathrm{e}}^{-z}}$	$\tan (\mathrm{i}z)=\mathrm{i}\tanh (z)$	$\tanh (\mathrm{i}z)=\mathrm{i}\tan (z)$
$\cot (z)=\mathrm{i}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}$	$\coth (z)=\frac{{\mathrm{e}}^z+{\mathrm{e}}^{-z}}{{\mathrm{e}}^z-{\mathrm{e}}^{-z}}$	$\cot (\mathrm{i}z)=\frac{1}{\mathrm{i}}\coth (z)$	$\coth (\mathrm{i}z)=\frac{1}{\mathrm{i}}\cot (z)$
$\sec (z)=\frac{2}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}$	$\mathrm{sech}(z)=\frac{2}{{\mathrm{e}}^z+{\mathrm{e}}^{-z}}$	$\sec (\mathrm{i}z)=\mathrm{sech}(z)$	$\mathrm{sech}(\mathrm{i}z)=\sec (z)$
$\csc (z)=\frac{2\mathrm{i}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}z}}$	$\mathrm{csch}(z)=\frac{2}{{\mathrm{e}}^z-{\mathrm{e}}^{-z}}$	$\csc (\mathrm{i}z)=\frac{1}{\mathrm{i}}\mathrm{csch}(z)$	$\mathrm{csch}(\mathrm{i}z)=\frac{1}{\mathrm{i}}\csc (z)$

Gegenseitige Darstellbarkeit von Winkelfunktionen

	sin	cos	tan	cot	sec	csc
sin2(x)	${\sin }^2(x)$	$1-{\cos }^2(x)$	$\frac{{\tan }^2(x)}{1+{\tan }^2(x)}$	$\frac{1}{{\cot }^2(x)+1}$	$\frac{{\sec }^2(x)-1}{{\sec }^2(x)}$	$\frac{1}{{\csc }^2(x)}$
cos2(x)	$1-{\sin }^2(x)$	${\cos }^2(x)$	$\frac{1}{1+{\tan }^2(x)}$	$\frac{{\cot }^2(x)}{{\cot }^2(x)+1}$	$\frac{1}{{\sec }^2(x)}$	$\frac{{\csc }^2(x)-1}{{\csc }^2(x)}$
tan2(x)	$\frac{{\sin }^2(x)}{1-{\sin }^2(x)}$	$\frac{1-{\cos }^2(x)}{{\cos }^2(x)}$	${\tan }^2(x)$	$\frac{1}{{\cot }^2(x)}$	${\sec }^2(x)-1$	$\frac{1}{{\csc }^2(x)-1}$
cot2(x)	$\frac{1-{\sin }^2(x)}{{\sin }^2(x)}$	$\frac{{\cos }^2(x)}{1-{\cos }^2(x)}$	$\frac{1}{{\tan }^2(x)}$	${\cot }^2(x)$	$\frac{1}{{\sec }^2(x)-1}$	${\csc }^2(x)-1$
sec2(x)	$\frac{1}{1-{\sin }^2(x)}$	$\frac{1}{{\cos }^2(x)}$	$1+{\tan }^2(x)$	$\frac{{\cot }^2(x)+1}{{\cot }^2(x)}$	${\sec }^2(x)$	$\frac{{\csc }^2(x)}{{\csc }^2(x)-1}$
csc2(x)	$\frac{1}{{\sin }^2(x)}$	$\frac{1}{1-{\cos }^2(x)}$	$\frac{1+{\tan }^2(x)}{{\tan }^2(x)}$	${\cot }^2(x)+1$	$\frac{{\sec }^2(x)}{{\sec }^2(x)-1}$	${\csc }^2(x)$

Die Gleichungen gelten für alle $x\in ℝ$ mit Ausnahme der Polstellen. Stetig hebbare Definitionslücken können entsprechend ergänzt werden.

Man beachte, dass die Gleichungen nach dem Wurzelziehen nur betragsmäßig gültig sind, da beim Quadrieren die Vorzeichen verloren gehen.

Winkelfunktionen mit verschobenem Argument

	$\pm \phi$	$\frac{\pi }{2}\pm \phi$	$\pi \pm \phi$	$\frac{3\pi }{2}\pm \phi$
$\sin$	$\pm \sin$	$\cos$	$\mp \sin$	$-\cos$
$\cos$	$\cos$	$\mp \sin$	$-\cos$	$\pm \sin$
$\tan$	$\pm \tan$	$\mp \cot$	$\pm \tan$	$\mp \cot$
$\cot$	$\pm \cot$	$\mp \tan$	$\pm \cot$	$\mp \tan$
$\sec$	$\sec$	$\mp \csc$	$-\sec$	$\pm \csc$
$\csc$	$\pm \csc$	$\sec$	$\mp \csc$	$-\sec$

$1+\tan (\frac{\pi }{4}-x)=\frac{2}{1+\tan x}$

Additionstheoreme

$\sin (x\pm y)=\sin x\cos y\pm \sin y\cos x$

$\cos (x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y$

$\tan (x\pm y)=\frac{\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan y}$

$\cot (x\pm y)=\frac{\pm \cot x\cot y\mp 1}{\cot x\pm \cot y}$

$\sin (x+y)\sin (x-y)={\cos }^{2}y-{\cos }^{2}x$

$\cos (x+y)\cos (x-y)={\cos }^{2}y-{\sin }^{2}x$

Doppelwinkelfunktionen

$\sin (2x)=2\sin x\cos x=\frac{2\tan x}{1+{\tan }^{2}x}$

$\cos (2x)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=1-2{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1=\frac{1-{\tan }^{2}x}{1+{\tan }^{2}x}$

$\tan (2x)=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}=\frac{2}{\cot x-\tan x}$

$\cot (2x)=\frac{{\cot }^{2}x-1}{2\cot x}=\frac{\cot x-\tan x}{2}$

Winkelfunktionen für weitere Vielfache

$\sin (3x)=3\sin x-4{\sin }^{3}x$

$\sin (4x)=8\sin x{\cos }^{3}x-4\sin x\cos x$

$\sin (5x)=16\sin x{\cos }^{4}x-12\sin x{\cos }^{2}x+\sin x$

$\sin (nx)=n\sin x{\cos }^{n-1}x-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3}){\sin }^{3}x{\cos }^{n-3}x+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{5}){\sin }^{5}x{\cos }^{n-5}x-+\dots$

$\cos (3x)=4{\cos }^{3}x-3\cos x$

$\cos (4x)=8{\cos }^{4}x-8{\cos }^{2}x+1$

$\cos (5x)=16{\cos }^{5}x-20{\cos }^{3}x+5\cos x$

$\cos (nx)={\cos }^{n}x-(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}){\sin }^{2}x{\cos }^{n-2}x+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4}){\sin }^{4}x{\cos }^{n-4}x-+\dots$

$\tan (nx)=\frac{\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k+1}){\tan }^{2k+1}}{\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k}){\tan }^{2k}}$

$\cot (nx)=(-1{)}^{n-1}{\left(\frac{\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k+1}){\cot }^{2k+1}}{\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2k}){\cot }^{2k}}\right)}^{(-1{)}^{n-1}}$

Rekursionsformeln mit $n,x\in ℂ$:

$\begin{array}{cc}\cos (nx)& =2\cos (x)\cos ((n-1)x)+\cos ((n-2)x),\\ \sin (nx)& =2\cos (x)\sin ((n-1)x)+\sin ((n-2)x).\end{array}$

Halbwinkelformeln

$\sin \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$ für $x\in [0,2\pi ]$

$\cos \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$ für $x\in [-\pi ,\pi ]$

$\tan \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}=\frac{1-\cos x}{\sin (x)}=\frac{\sin x}{1+\cos x}$ für $x\in ]-\pi ,\pi [$

$\cot \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}=\frac{1+\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1-\cos x}$ für $x\in ]-\pi ,\pi [$

Identitäten

Aus den Additionstheoremen lassen sich Identitäten ableiten:

$\sin x\pm \sin y=2\sin \frac{x\pm y}{2}\cos \frac{x\mp y}{2}$

$\cos x\pm \cos y=\pm 2\begin{array}{c}\cos \\ \sin \end{array}\left(\frac{x+y}{2}\right)\begin{array}{c}\cos \\ \sin \end{array}\left(\frac{x-y}{2}\right)$

$\tan x\pm \tan y=\frac{\sin (x\pm y)}{\cos (x)\cos (y)},\cot x\pm \cot y=\frac{\sin (y\pm x)}{\sin (x)\sin (y)}$

Produkte der Winkelfunktionen

$\cos x\cos y=\frac{\cos (x-y)+\cos (x+y)}{2}$

$\sin x\sin y=\frac{\cos (x-y)-\cos (x+y)}{2}$

$\sin x\cos y=\frac{\sin (x-y)+\sin (x+y)}{2}$

$\tan x\tan y=\frac{\tan x+\tan y}{\cot x+\cot y}=-\frac{\tan x-\tan y}{\cot x-\cot y}$

$\cot x\cot y=\frac{\cot x+\cot y}{\tan x+\tan y}=-\frac{\cot x-\cot y}{\tan x-\tan y}$

$\tan x\cot y=\frac{\tan x+\cot y}{\cot x+\tan y}=-\frac{\tan x-\cot y}{\cot x-\tan y}$

$\sin x\sin y\sin z=\frac{1}{4}[\sin (x+y-z)+\sin (y+z-x)+\sin (z+x-y)-\sin (x+y+z)]$

$\cos x\cos y\cos z=\frac{1}{4}[\cos (x+y-z)+\cos (y+z-x)+\cos (z+x-y)+\cos (x+y+z)]$

$\sin x\sin y\cos z=\frac{1}{4}[-\cos (x+y-z)+\cos (y+z-x)+\cos (z+x-y)-\cos (x+y+z)]$

$\sin x\cos y\cos z=\frac{1}{4}[\sin (x+y-z)-\sin (y+z-x)+\sin (z+x-y)+\sin (x+y+z)]$

Potenzen der Winkelfunktionen

$(2\cos x{)}^{2n}=\sum _{k=-n}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n-k})\cos 2kx$

$(2\sin x{)}^{2n}=\sum _{k=-n}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n-k})\cos 2kx$

$(2\cos x{)}^{2n+1}=2\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+1}{n-k})\cos (2k+1)x$

$(2\sin x{)}^{2n+1}=2\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+1}{n-k})\sin (2k+1)x$